) і оператор x2 - ¶ 2 / ¶ x, рівняння,
(2.2.6.1)
можна представити у вигляді
(2.2.6.2)
в якому yl (х) - власна функція оператора [x2 - ¶ 2 / ¶ x2], відповідна його власному значенню l. При дії на рівняння (2.2.5.33) зліва оператором (x + ¶ / ¶ x)
(2.2.6.3)
отримують рівняння для функції
(2.2.6.4)
(2.2.6.5)
Якщо тепер розкрити твір операторів в лівій частині останньої рівності, то отримаємо рівняння для його власних значення (l - 2) і функції y (l - 2) (х)? j (х):
(2.2.6.6)
Іншими словами, якщо ми діємо оператором (x + ¶ / ¶ x) на хвильову функцію yl (x), що належить власному значенню l, то отримуємо рішення рівняння yl - 2 (x), для власного значення l - 2.
Повторюючи перетворення і вводячи хвильову функцію yl - 4 (x)
(2.2.6.7)
знову отримаємо рівняння виду (2.2.5.18), але вже для власного значення (l - 4) і власної функції yl - 4 (x).
При продовженні цього процесу кожен раз отримують рівняння виду для власного значення меншого на 2, ніж на попередньому етапі. Однак цей процес не можна продовжити до безкінечності. Власне значення l рівняння (2.2.5.18) пропорційно енергії осцилятора (2.2.5.17) і тому, як було показано вище, не може бути негативним або рівним нулю. Отже, l має бути одно цілому непарному числу. Якщо припустити, що параметр l не є цілим числом, то при реалізації, описаної вище процедури, він буде приймати негативні значення. Непарність ж l гарантує неможливість його звернення в нуль. Таким чином:
l=2n + 1, де n=0 1, 2, 3, ... (2.2.6.8)
Знайдемо хвильову функцію осцилятора для n=0 (l=1). Для цього скористаємося рівнянням, в якому, як було показано j (х)? y (l - 2) (х). Виконання вимоги l> 0 буде гарантовано, якщо найменше значення l таке, що при цьому в рівності yl - 2 (х)=y 2n - 1 (х)=0. Цей мінімум l досягається при n=0.
Хвильові функції нумерують значеннями квантового числа n
yl (x) | l=2n +1? y n (x)). (2.2.6.9)
Для n=0:
yl (x) | n=0=y 2n +1 (x) | n=0=y 0 (x) і (¶ / ¶ x + x) y 0 (x)=0 (2.2.6.10)
Інтегруючи останнє рівняння, отримують
(2.2.6.11)
(постійний множник С0 знаходиться з умови нормування).
Розглянемо рівняння (2.2.5.18), при зворотному порядку операторів (x + ¶ / ¶ x) і (x - ¶ / ¶ x):
(2.2.6.12)
Останнє рівняння записуємо для l=2n + 1 за аналогією з (2.2.5.24) (відповідно до yl (x) | l=2n +1? yn (x)):
(2.2.6.13)
подіємо на це рівняння оператором (x - ¶ / ¶ x):
(2.2.6.14)
Вводячи функцію j1 (x)=(x-¶ / ¶ x) yn (x), отримаємо рівняння
(2.2.6.15)
Розкривши твір операторів одержимо рівняння (2.2.5.18), в якому замість l=2n + 1 фігурує 2 (n + 1) +1:
(2.2.6.16)
Виявляється, що j1 (x)? yn +1 (x) - дія оператора (x - ¶ / ¶ x) на функцію yl (x)? yn (x) породжує функцію yl +2 (x)? yn +1 (x). У прийнятих позначеннях хвильових функцій квантовими числами n
yn +1 (x)=(x-¶ / ¶ x) yn (x) (2.2.6.17)
<...
