няння при крайових умовах необхідно насамперед мати дані про компоненти швидкостей течії металу і компонентах швидкостей переміщення поверхні розкату. Ці компоненти повинні попередньо визначатися з рішення рівнянь прокатки, що так само в якійсь мірі є спрощує допущенням, оскільки компоненти поля деформацій металу і температурного поля взаємозалежні. Однак спільне рішення диференціальних рівнянь прокатки і теплопровідності з урахуванням усіх факторів теплообміну - завдання дуже складне.
. 1.3 Існуючі методи вирішення нестаціонарного рівняння теплопровідності і його вибір
При рішенні рівнянь теплопровідності застосовуються методи математичної фізики: метод розділення змінних (метод Фур'є); метод функцій джерел (функцій Гріна); метод теплових потенціалів; метод інтегральних перетворень [14].
Найбільш поширеним є метод Фур'є. Суть методу полягає в тому, що рішення відшукується у вигляді приватних рішень, що задовольняють однорідним граничним умовам. Приватне рішення представляється як творів функцій, одна з яких залежить від часу, інша - від просторових координат. Недоліками цього методу є: неможливість його безпосереднього застосування у разі неоднорідних граничних умов, які спочатку повинні бути приведені до однорідним; неможливість його застосування для напівобмеженого і необмежених тіл; значні труднощі, пов'язані з вирішенням крайових задач при граничних умовах четвертого роду; складність рішень для початкової стадії нагріву тел.
Метод функцій джерел дозволяє вирішувати крайові задачі при неоднорідних крайових умовах як для кінцевих, так і для нескінченних тел. Фізична сутність методу полягає в представленні процесу поширення тепла як сукупність процесів вирівнювання температур, що викликається дією безлічі елементарних джерел тепла, поширених у просторі і в часі. Найбільше застосування метод отримав в теорії зварювальних процесів. До недоліку методу відноситься те, що побудова функції Гріна вимагає певної винахідливості і важкоздійснюваний.
Метод теплових потенціалів дозволяє зводити рішення диференціального рівняння параболічного типу до інтегрального рівняння, яке більш зручно для проведення числових розрахунків. Недолік методу - громіздкість, складність, а також неможливість його безпосереднього застосування у разі неоднорідних початкових умов [14].
Недоліки класичних методів розв'язання крайових задач, розглянутих вище, привели до розробки нових методів - до інтегральних перетворень. Одним з найбільш поширених методів інтегральних перетворень є метод Лапласа. Сутність цього методу полягає в тому, що вивчається не сама функція, а її видозміна (зображення). Метод дозволяє легко вирішувати завдання з простими початковими умовами для необмежених або напівобмеженого тел. Однак при застосуванні цього методу виникають значні труднощі при вирішенні багатовимірних задач, початкові умови яких задані у вигляді функції просторових координат. Розроблені методи інтегральних перетворень по просторових координатах (сінус-, косинус-перетворення Фур'є) розширює область застосування даного методу. Сінус-, косинус перетворення застосовуються при граничних умовах першого і другого родів відповідно. Якщо ж ядро ??перетворення -функція Бесселя, то отримуємо перетворення Ханкеля. Перетворення Ханкеля застосовується для тіл, що мають осьову симетрію.
Обмеженість методів інтегральних перетворень Фур'є, Ханкеля і почасти Лапласа, а так само гостра необхідність у вирішенні завдань з кінцевою областю зміни змінних привели до створення методів кінцевих інтегральних перетворень. Суть методу кінцевих інтегральних перетворень Гріна полягає у виборі ядра інтегрального перетворення відповідно до диференціальним рівнянням і граничними умовами, тобто ядром перетворення служить функція Гріна для даної задачі. Після рішення задачі в зображеннях, зворотне перетворення виконується за відповідними формулами звернення. Принципові недоліки зазначених методів полягають у труднощі, що виникають при прямих перетвореннях і зворотних переходах [14, 16-19]
Як бачимо, рішення диференціального рівняння із загальними крайовими умовами методами математичної фізики складно, а для задач циклічного теплообміну наштовхується на певні труднощі.
Останнім часом найбільш поширеним став чисельний метод рішення рівнянь теплопровідності. Чисельний метод дозволяє вирішувати завдання з урахуванням фізичних властивостей тіла і виділяється додаткового джерела тепла - теплоти тертя і пластичної деформації і забезпечує більш простий перехід від умов задачі у вигляді систем рівнянь до конкретних числовим відповідям, минаючи здобуття загальної рішення задачі. Тому при вирішенні теплової задачі процесу гарячої прокатки труб цей метод є найбільш прийнятним.
Сутність цього методу ...
