чі Про ГЌ Х образ f ( Про ) є відкритим безліччю в Y .
Лемма 2.2. Проекції : X ' Y В® Х і : X ' Y В® Y є безперервними відкритими відображеннями.
Доказ. Візьмемо довільне відкрите в Х безліч G . Прообраз цієї множини = G ' Y за визначенням топології твори відкритий в X ' Y . Тоді проекції і будуть безперервними відображеннями.
Нехай точка z ГЋ X ' Y ; Oz - її довільна околиця (мал. 7). Знайдеться базисна околиця
В
Рис. 7. /Td>
Рис. 7. /Td>
точки z , де U - околиця точки, V - Околиця точки. Точка є внутрішньою точкою множини U , а значить і безлічіВ . Аналогічно, точка - внутрішня точка множини. Отже, множини і відкриті, і проекції і - відкриті відображення. Гї
Лемма 2.3. Нехай простір Х є компактним. Тоді проекція : X ' Y В® Y є замкнутим відображенням.
Доказ. Візьмемо довільну точку y ГЋ Y і розглянемо шар Він гомеоморфен безлічі Х , тому є компактним безліччю. Нехай Про деяка околиця шару. Розглянемо довільну точку z = ( x ; y ) шару ГЊ X ' Y та її елементарну околиця
G ,
де Ox - околиця точки x в X , Oy - околиця точки y в Y . Оскільки точка z довільна, отже, такими околицями можна покрити всі безліч. Нехай - це відкрите покриття множини. Тоді можна виділити кінцеве відкрите підпокриття, причому ГЊ Про , яке будемо розглядати як деяку околицю шару. Нехай
U =,
де Про i j = ( G i j ). Тоді
ГЌ ГЊ Про ,
тобто проекція є замкнутим над точкою у , і, отже, замкнутим відображенням. €
Теорема 2.7. Нехай Х зв'язне топологічний простір. Тоді проекція : X ' Y В® Y є зв'язковим відображенням.
Доказ. Нехай х - довільна фіксована точка простору Х . Розглянемо шар == Y '{ x }. Він гомеоморфен зв'язков простору Y , тому шар також зв'язний. Припустимо, що відображення недоладне над точкою х , тобто існує така околицях Ох точки х , що трубка є незв'язною для всякої округа U ГЌ Ox точки x . За...
