ерівностей) назвемо кінцевий набір записів виду t = s або t В№ s, де t, s - терми. Визначимо тепер поняття рішення системи. Еслп в терм підставити дійсні числа замість змінних, то він придбає деякий дійсне значення. Рішення системи - це такий набір значень змінних, при якому ліва і права частини любою рівності I t = s, що входить в систему, набувають одне і те ж значення, а ліва і права частини будь-якого нерівності t В№ s, що входить в систему, - різні.
За нашим припущенням всяка функція з дійсними аргументами н значеннями має гппердействітельний аналог (В«природне продовженняВ»). Поняття гіпердействітельного аналога легко поширюється на терми - щоб отримати аналог терма t , треба просто замінити всі вхідні в нього функції на їх гіпердействітельпие аналоги. Виконавши цю операцію з усіма термами, що входять в якусь систему S , ми отримаємо систему * S, яку природно також назвати гіпердействітельним аналогом системи S . Оскільки до неї входять функції з гіпердействітельнимі аргументами і значеннями, замість змінних можна підставляти довільні гіпердействітельние числа. Гппердейст-вительностью рішенням системи * S назвемо такий набір гіпердействітельпих значень змінних, при яких виконані всі вхідні в неї рівняння і нерівності. Тепер можна сформулювати нашу вимогу до системі гіпердействітельних чисел і до гіпердействітельним аналогам наступним чином.
Нехай S - довільна система рівнянь і нерівностей, * S - її гіпердействітельний аналог. Якщо * S має (гіпердействітельние} рішення, то S повинна мати дійсні рішення.
Можливість побудови неархимедовой упорядкованого розширення * R поля R і таких гіпердействітельних аналогів * f для всіх дійсних функцій f, які б задовольняли сформульованому вимогу, залишається поки все, лише гіпотезою. (Ми будемо називати цю гіпотезу Основною гіпотезою.)
7. СЛІДСТВА основних гіпотез
Наведемо кілька прикладів, показують, які наслідки можна вивести із сформульованої Основний гіпотези. Виявляється, що незважаючи на те, що сформульоване нами вимога одночасної розв'язності систем рівнянь і нерівностей здається вельми приватним, воно має найрізноманітніші слідства і достатньо для обгрунтувань значної частини міркувань з ги-пердействітельнимі числами.
Приклад 1. Нехай f - функція одного дійсного аргументу, приймаюча лише значення 0 і 1. Доведемо, що функція * f приймає тільки значення 0 і 1. Для цього розглянемо систему
f (x) В№ 0, f (x) В№ 1,
яка за припущенням не має дійсних рішень. Отже, не має (гіпердействітельних) рішень і її аналог - система
* f (x) В№ 0, * f (x) В№ 1,
Приклад 2. Нехай f і g - функції одного дійсного аргументу, причому безлічі їх нулів совпа-дають. (Безліч нулів функції - бе...
