зліч тих значень аргументу, при яких значення функції дорівнює 0) У цьому випадку і безлічі гіпердействітельних чисел, які є множинами нулів функцій * f і * g, збігаються. Доведемо це. Справді, кожна з систем
(1) f (x) = 0, g (x) В№ 0,
(2) g (x) = 0, f (x) В№ 0,
не має дійсних рішень. Отже, не мають гііердействітельних рішень та їх аналоги. По-тому будь гіпердействітельний нуль функції * f обов'яз-зан (щоб не бути рішенням аналога системи (1)) бути нулем і для * g і навпаки.
Цей приклад дозволяє визначити гіпердействітельние аналоги не тільки для функцій, але і для множин. p> Нехай А - довільне безліч дійсних чисел. Розглянемо довільну функцію f, для якої А - безліч нулів. (Така є: досить покласти, наприклад, f (x) = 0 при х ГЋ А і f (x) = 1 при xГЏ ; A). Розглянемо тепер гіпердействітельний аналог * f функції f і безліч * А його (Гіпердействітельних) нулів. Як ми бачимо, безліч * А не залежить від вибору функ-ції f. Його ми й назвемо гіпердействітельним аналогом безлічі А.
Приклад 3. Ми можемо тепер дозволити включати системи поряд з рівностями t = s і нерівностями t В№ s і запису виду sГЋA , де s являє собою терм, а А - безліч дійсних чисел. При цьому рішеннями будуть такі набори (Дійсних чи гіпердействітельних) значень змінних, при яких виконані всі рівності та нерівності, а значення s належить безлічі А. Гіпердействітельним аналогом sГЋA буде * sГЋ * A, де * s - гіпердей-ствительность аналог терма s , а * A - аналог множини А (в зазначеному сенсі). Таким чином, у всякої системи рівностей, нерівностей та включень (тобто записів виду sГЋA ) з'являється гіпердействітельний аналог. Для таких систем залишається в силі властивість одночасної розв'язності: якщо гіпердействітельний аналог системи має (гіпердействітельние) рішення, то вихідна система має (дійсні) рішення. Щоб поба-чити це, досить замінити s ГЋ A на a ( s ) = 0, де a - функція з дійсними аргументами і значеннями, безліччю нулів якої є A . Аналогічним чином можна додавати в систему і затвердження виду sГЏA (що замінюється на a ( s ) В№ 0 ).
Приклад 4. Нехай А - Порожній безліч. Доведемо, що * A - порожній безліч. p> Справді, система
х ГЋ А
не має дійсних рішень, тому й система х ГЋ * А не має (гіпердействітельних) рішень. Розглянувши систему х ГЏ А, отримуємо аналогічним чином, що якщо А містить всі дійсні числа, то * А містить всі гіпердействітельние числа. Таким чином, гіпердействітельним аналогом множини R буде безліч * R, так що наші позначення узгоджені...
