розмірності D = 1/2. Зовні два безлічі "виглядають" по-різному, хоча вони обидва мають одну і ту ж фрактальну розмірність: у них різна Лакунарний [4]. p align="justify"> Розмірність кластера, або розмірність маси, ми отримаємо, якщо розглянемо екстрапольований варіант канторівської множини. Почнемо з "мономерів" довжиною R 0 і утворюємо "кластер" з N = 2 мономерів довжиною R = 3R 0 , після чого всі повторимо спочатку, прийнявши димер за новий вихідний мономер, і т.д. Кластер з N = 2 n мономерів має діаметр R = 3 n . Отже, фрактальна розмірність цього кластеру, обумовлена ​​співвідношенням (13), дорівнює
(14)
В
Рис. 11. Два побудови канторівської безлічі з D = 1/2. Вгорі: N = 2 і r = 1/4; внизу: N = 3 і r = 1/9. br/>
Розмірність кластера співпадає з фрактальної розмірністю цього канторівської множини.
Ми укладаємо, що для вельми простого тріадного канторівської безлічі всі визначені вище різні розмірності збігаються.
2.8 Алгебраїчні фрактали
Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор і т.д. Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожне стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в розглянуті кінцеві стану. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторов. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати кольоровий фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури. br/>В
Рис. 12. Безліч Мандельброта [6]. p align="justify"> Як приклад розглянемо безліч Мандельброта (див. рис.10 і рис.11). Алгоритм його побудови досить простий і заснований на простому ітеративному вираженні [6]:
[i +1] = Z [i] * Z [i] + C (15)
де Zi і C - комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки C квадратної або пря...
