дозвіл, ми виявляємо, що 6-е покоління відрізків неотличимо від 5-го. Після нескінченної кількості поколінь залишився нескінченну безліч точок розсіяно по одиничному відрізку. Це безліч називається канторовской пилом [4]. p align="justify"> Обчислимо тепер для канторівської безлічі різні розмірності, введені нами в попередніх розділах.
Почнемо з розмірності Хаусдорфа-Безиковича, обумовленою вираженням (2.3). У n-му поколінні канторовской безліч складається з N = 2 n відрізків довжиною l i = (1/3) n , i = 1, 2,. .., N. Якщо спробувати покрити безліч прямолінійними відрізками довжини ? = l i і розташувати їх акуратно, то нам вдасться покрити всі відрізки п-го покоління і, отже, всі крапки канторівської множини. Міра, обумовлена ​​формулою (2.3), дорівнює величині
(11)
В
Рис. 10. Побудова тріадного канторівської множини. Запал-одиничний відрізок [0,1]. Утворюючий елемент видаляє середню третину. На малюнку показані перші п'ять поколінь. D = ln2/ln3 = 0,6309. br/>
Цей захід розходиться або прагне до нуля при ? ? 0, якщо тільки ми не виберемо d = D = ln2/ln3 = 0,6309. Топологічна розмірність канторівської безлічі визначається величиною D T = 0. Так як D T
(12)
Описуване тут канторовской множина не цілком самопо-добно. Однак ми можемо розширити його за допомогою процедури екстраполяції, що охоплює область [0, 3] двома канторівської множини, які покривають інтервали [0, 1] та [2, 3]. Повторюючи цей процес необмежену кількість разів, ми можемо побудувати самоподібні безліч на полупрямой [0,?]. Якщо змінити масштаб в r = 1/3 рази, то, щоб покрити вихідна безліч, нам знадобиться N - 2 таких множин. З визначення розмірності подібності D s отримуємо
(13)
Розмірність подоби співпадає з фрактальної розмірністю тріадного канторівської множини.
Формула (13) дозволяє тривіальним чином побудувати канторовской безліч з будь-якої заданої розмірністю з інтервалу 0
