n>
В
Відомо, що при Ak = 0 координати хл, ..., xn-1 лінійно залежні, тобто знайдуться такі дійсні числа с0, ... сn-1 що
(1.26)
Співвідношення (1.26) задає в просторі X деяку гіперплощина S. Отже, сукупність стійких траєкторій лінійної структури в разі, якщо характеристичне рівняння має один позитивний корінь, утворює гіперплощина у фазовому просторі системи. Пояснимо зазначену особливість такої лінійної структури на прикладі системи другого порядку, описуваної рівнянням (1.20). Нехай у (1.21)? 1> 0,? 2 <0. Відповідні фазові портрети показані на рис. 1.14, з; і, к. Якщо А1 = 0, то lim x = 0, lim = 0 і в силу (1.21)
(1.27)
Пряма S, задана рівнянням (1.27) (рис. 1.14, з, і, к), і є сукупністю стійких траєкторій для нестійкої системи другого порядку. Якщо в початковий момент часу зображає точка знаходиться на прямий S, то вона буде асимптотично наближатися до початку координат. У той же час необхідно відзначити, що будь-які як завгодно малі обурення, завжди існуючі в системі, В«вибиваютьВ» точку з прямою S і в системі виникає нестійкий рух. Надалі руху зображає точки, що відбуваються по траєкторіях, що належить гіперплощини, будемо називати виродженими. Ця особливість фазового простору лінійних систем дозволяє помітити один з можливих принципів побудови систем із змінною структурою. p> Припустимо, що в нашому розпорядженні є дві, нехай навіть нестійкі, лінійні структури, але у фазовому просторі однієї з них існує гіперплощина із стійкими виродженими рухами. Тоді слід вибрати таку послідовність зміни цих структур, щоб, по-перше, будь-яка траєкторія в просторі X перетинала цю гіперплощина і, по-друге, в момент попадання зображає точки на дану гіперплощина структура системи збігалася зі структурою з стійким виродженим рухом. Побудована таким чином система буде стійкою для будь-яких початкових умов. Розглянемо, наприклад, систему, яка може мати дві фіксовані нестійкі структури. Нехай першої структурою відповідає фазовий портрет рис. 1.14, д, а другий - рис. 1.14, к. Виникає завдання: вибрати таку послідовність зміни структур, щоб будь-який рух системи було стійко. Вирішимо цю задачу методом фазової площини. Розіб'ємо фазову площину (х,) на дві області, межами яких є пряма S і вісь (рис. 1.15). Якщо стан системи такий, що зображає точка знаходиться в області I, то її рух має відбуватися за розкручується спіраль (система повинна мати першу структуру). В області II зображає точка повинна рухатися по кривих гіперболічного типу (система повинна мати другу структуру). З рис. 1.15 видно, що зображає точка завжди потрапляє на пряму S, яка є стійкою траєкторією для другої структури. Тому для будь-яких початкових умов, починаючи з деякого моменту часу (моменту потрапляння на S) виникає стійкий рух. Очевидно, що якщо управляючий пристрій здійснює зміну структури на прямий S і осі, то в системі буде забезпечена аперіодична стійкість руху. Таки...
