задають площину). ГО 1 - Середня лінія трапеції:. p> BDD 1 B 1 - трапеція:.
ОСС 1 Про 1 - трапеція. p> ОМ = ОС (властивість перетину медиан трикутника), Про 1 М 1 = Про 1 З 1 (Аналогічно). Отже,. p> 1.09. Доведіть, що відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл (рис. 29).
Рішення: ML | | DB , NK | | DB (як середні лінії трикутників ADB і CDB відповідно), ML = NK . NMLK - паралелограм (паралельні прямі задають площину). З властивості діагоналей трикутника випливає, що відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Докази для ЗР аналогічно. <В
2.08. У правильному тетраедра DABC , всі ребра якого рівні 6, точка К лежить на ребрі BD так, що D К = 2; точка М лежить на ребрі НД так, що ВМ = 4; точка Р - середина ребра АВ . а) Доведіть, що КМ паралельна площині ADC . б) Доведіть, що РМ не паралельна площині ADC . в) Проведіть через точку Р пряму, паралельну площині ADC і перетинає ребро DB в точці L . Знайдіть довжину LK . г) Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через точки Р і К паралельно АС (рис.30).
Рішення: а) За теоремі Фалеса: DC | | КМ . За ознакою паралельності прямої і площини: ( А DC ) | | КМ .
б) РМ НЕ паралельна АС ( СМ в‰ АР ), отже, вони перетинаються, тому що лежать в одній площині. Тоді, РМ не паралельна площині ADC .
в) За теоремою Фальоса: DL = 3. Тоді, LK = 1. p> г) ( PKS ) - шукане перетин, де PS - середня лінія трикутника АВС .
2.09. Підставою правильної чотирикутної піраміди PABCD є паралелограм ABCD . Побудуйте її перетин площиною, що проходить через АВ і точку К , лежачу в межі: а) ВСР (рис. 31а), б) DCP (рис. 31б). Яка постать виходить в перетині?
В обох випадках - равнобокая трапеція.
В
2.10. Дано три попарно перехресні прямі а , b і з . Чи завжди існує площину: а) паралельна кожній з цих прямих (рис. 32а), б) перетинає кожну з них (рис. 32б)? Відповідь обгрунтуйте і виконайте відповідний малюнок.
Рішення: а) Площина, паралельна кожній з перехресних прямих існує, якщо дані прямі лежать в паралельних площинах.
б) Площина, перетинає кожну з перехресних прямих, існує, якщо існує пряма, що належить цій площині, яка перетинає кожну з даних прямих.
В
2.11. Дан куб Нехай Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , Р 5 , Р 6 , Р 7 , Р 8 - Середини ребер відповідно АВ, ВВ 1 , У 1 А 1, А 1 А, CD , СС 1 , З 1 D 1 , DD 1 . Яке взаємне становище таких прямих і площин, як: а) Р 3 Р 4 і Р 1 Р 2 Р 6 (Рис. 33а), б) Р 7 Р 8 і Р 1 Р 2 Р 6 (Рис. 33б), в) Р 4 Р 7 і Р 1 Р 2 Р 5 (Рис. 33в); г) Р 1 Р 6 і АВ 1 D (рис. 33г); д) АС і Р 3 Р 4 Р 5 (Рис. 33д); е) BD і Р 3 Р 4 Р 5 (Рис. тридцять третій)? <В
Рішення: а) Р 3 Р 4 | | ( Р 1 Р 2 Р 6 ) (ознака паралельності прямої і площини);
б) Р 7 Р 8 | | ( Р 1 Р 2 Р 6 ) (ознака паралельності прямої і площини);
в) Р 4 Р 7 В ( Р 1 Р 2 Р 5 ) (При паралельному проектуванні Р 4 Р 7 на вектор пряма перетне площину Р 1 Р 2 Р 5 );
г) Р 1 Р 6 | | ( АВ 1 D ) (Доповнимо площину АВ ...
