1 D до площині АВ 1 З 1 D ; при паралельному проектуванні Р 1 Р 6 на вектор пряма лежатиме в площині АВ 1 З 1 D , отже, в цій площині існує пряма, паралельна Р 1 Р 6 );
д) АС | | ( Р 3 Р 4 Р 5 ) (Доповнимо площину Р 3 Р 4 Р 5 до Р 3 Р 4 Р 6 Р 5 ; при паралельному проектуванні АС на вектор пряма перейде в діагональ паралелограма Р 3 Р 4 Р 6 Р 5 , отже, в цій площині існує пряма, паралельна АС );
е) BD Р 3 Р 4 Р 5 (При паралельному проектуванні BD на вектор пряма перетне площину Р 3 Р 4 Р 5 ).
В
Дан паралелепіпед P і Q - внутрішні точки граней відповідно ABCD і Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки P і Q і паралельної прямої СС 1 (Рис. 34). p> Рішення: Проведемо прямі P Р 1 і QQ 1 , паралельні СС 1 . Вони задають площину, паралельну СС 1 і проходить через точки P і Q .
2.13. Дан куб точка Р - середина ребра АА 1 . Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точки Р і D 1 паралельно діагоналі АС грані ABCD куба (рис. 35). Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 10.
Рішення: АС 1 | | ( РВ 1 D 1 ) (В цьому можна переконатися, застосувавши властивість діагоналей в параллелограмме і теорему Фалеса до трикутника АА 1 З 1 ). За теоремою Піфагора:. За формулою Герона:. p> 2.14. Доведіть, що через два перехресні прямі можна провести паралельні площини (рис. 36). p> Рішення: Нехай прямі а і b схрещуються. Виберемо на прямий а довільно точку А і проведемо пряму з , паралельну b (через точку, що не лежить на даній прямій можна провести єдину пряму, паралельну даній). Прямі а і з задають площину ОІ. За ознакою паралельності прямої і площині: b | | ОІ. Аналогічно, проведемо пряму d в площині О±. p> О± | | ОІ (Якщо дві пересічні прямі площині відповідно рівнобіжні двом пересічним прямим іншій площині, то ці площини паралельні).
3.06. Побудуйте перетин п'ятикутною піраміди PABCDE площиною О±, яка проходить через внутрішню точку М підстави ABCDE паралельно грані Р AB (рис. 37).
Рис. 37
Рішення: Так як прямі, за якими дві паралельні площини пересічені третьої площиною, паралельні, а площину О± паралельна грані РАВ , то: а) пряма перетину площини О± з площиною основи піраміди повинна бути паралельна АВ , б) пряма перетину О± з площиною грані РВС - Паралельна АР , в) пряма перетину О± з площиною РА D - паралельна РА , тому проводимо: 1) через точку М пряму KF | | AB , 2) FH | | PA , 3) KR | | PB , 4) ML | | AP . П'ятикутник HLRKF - шукане розтин. У доказі використовується ознака паралельності прямої і площини, ознака паралельності площин.
3.07. Точки А , В і З лежать у площині О± і не лежать на одній прямій. Рівні і паралельні відрізки АА 1 , ВВ 1 і СС 1 розташовані по один бік від площини О±. Доведіть, що ( А 1 У 1 З 1 ) | | ( АВС ) (рис. 38). p> Рішення: ВВ 1 З 1 З - Паралелограм (з паралельності і рівності ВВ 1 і СС 1 ), отже НД | | У 1 З 1 . АВ | | А 1 У 1 (Аналогічно). По теоремі про паралельність площин (за двом пересічним прямим): ( А 1 У 1 З 1 ) | | ( АВС ).
3.08. Точка В не лежить в площині О” AEC , точки М , К і Р - середини відрізків відповідно АВ , НД і ВЕ (рис.39). а) Доведіть, що площині МКР
