с полягав у тому, що окремо кожна з несумірних величин - і діагональ і сторона квадрата - може бути виміряна і кількісно точно визначена. Однак висловити їх довжини через ставлення один до одному за допомогою наявних тоді чисел не вдавалося.
Цей парадокс вдалося подолати шляхом введення в математику в€љ (квадратного кореня). Він був введений завдяки наступним міркуванням:
Якщо квадрат розрізати по діагоналі, виходить два прямокутних рівнобедрених трикутника, де лінія колишньої діагоналі буде гіпотенузою, а сторони квадрата - катетами. Згідно знаменитої теореми Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, точніше, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Звідси і величина відносини гіпотенузи до катета (або діагоналі до сторони квадрата), рівна в€љ 2.
Чергова катастрофа сталася кілька століть потому і особливо сильно виявлялася в математиці в XVII-XVIII ст. Цього разу справа стосувалася тлумачення нескінченно малих величин. Нескінченно малі - це змінні величини, які прагнуть до нуля, точніше, як було показано пізніше, прагнучі до межі, рівному нулю. Криза виникла в силу розпливчастого розуміння нескінченно малого. В одних випадках воно прирівнювалося до нулю і при обчисленнях відкидалося, в інших же - приймалося як значення, відмінне від нуля, про що говорить і сама назва. Причина настільки суперечливого підходу до нескінченно малим пояснюється тим, що їх розглядали в якості постійних величин, У силу цього нескінченне розумілося як щось завершене, наявне в наявності, дане всіма своїми елементами.
Вихід з кризи був знайдений створенням теорії меж, остаточно побудованої на початку XIX століття відомим французьким математиком О. Коші. Це парадоксальний стан (Вважати нескінченно малі нулями і в той же час нерівними нулю) О. Коші дозволяє введенням якісно нових, неймовірних раніше величин. Він бере їх з області можливого, а не дійсного. Нескінченно малі - це величини, які існують лише як постійно змінюються, прагнуть до межі, але ніколи його не досягають. Тобто вони завжди залишаються в можливості, в потенції, так що не реалізується жодна з зазначених альтернатив. Величина не застигають у будь-яких одних конкретних значеннях. Вони постійно змінюються, наближаючись до нуля, але і не перетворюючись в нуль.
Остання криза мав місце на рубежі XIX-XX століть і був настільки потужним, що торкнувся не тільки саму математику, але і логіку, оскільки ці науки тісно пов'язані, і мову, оскільки справа стосувалася способів точного вираження змісту наших думок.
До кінця XIX століття в якості фундаменту всього будинку класичної математики міцно утвердилася теорія множин, розвинена видатним німецьким вченим Г. Кантором. Поняття В«БезлічВ» або В«класВ», В«сукупністьВ» - найпростіше в математиці. Воно не визначається, а пояснюється прикладами. Можна говорити про безліч всіх книг, складають дану бібліотеку, безлічі всіх точок д...
