x *
= B < sub> 1
x *
+ B 2
x *
+ c . (3.38)
Збіжність методу Зейделя. Достатнім умовою збіжності методу Зейделя є виконання нерівності:
В
b = max | b ij | , <1, i, j = 1, 2, ..., n. (3.39)
Нерівність (3.39) означає, що для збіжності методу Зейделя достатньо, щоб максимальний по модулю елемент матриці B був менше одиниці. p> Якщо виконана умова (3.39), то справедлива наступна апостериорная оцінка похибки:
max | x - x | ВЈ max | x- x | i = 1, 2 , ..., n, (3.40)
де b - максимальний елемент матриці B , b 2 - максимальний елемент матриці B 2 .
Праву частину оцінки (3.40) легко обчислити після знаходження чергового наближення.
Критерій закінчення. Якщо потрібно знайти рішення з точністю e , то в силу (3.37) ітераційний процес слід закінчити як тільки на ( k + 1)-му кроці виконається нерівність:
max | x- x | < e , i = 1, 2, ..., n. (3.41)
Тому в Як критерій закінчення ітераційного процесу можна використовувати нерівність
max | x- x | < e 1 , i = 1, 2, ..., n. (3.42)
де e 1 = e .
Якщо виконується умова b ВЈ, то можна користуватися більш простим критерієм закінчення:
max | x- x | < e , i = 1, 2, ..., n . (3.43)
Метод Зейделя як правило сходиться швидше, ніж метод Якобі. Проте можливі ситуації, коли метод Якобі сходиться, а метод Зейделя сходиться повільніше або взагалі розходиться.
В
Приклад 3.6.
Застосуємо метод Зейделя для вирішення системи рівнянь (3.33) з прикладу 3.5. Перші кроки повністю збігаються з процедурою вирішення за методом Якобі, а саме: система приводиться до вигляду (3.34), потім в якості початкового наближення вибираються елементи шпальти вільних членів (3.35). Проведемо тепер ітерації методом Зейделя. br/>
При k = 1
x = - 0.0574 x - 0.1005 x - 0.0431 x + 1.0383 = 0.7512
При обчисленні x використовуємо вже отримане значення x :
В
x = - 0.0566 x - 0.0708 x - 0.1179 x + 1.2953 = 0.9674
При обчисленні x використовуємо вже отримані значення x і x :
x = - 0.1061 x - 0.0758 x - 0.0657 x + 1.4525 = 1.1977
При обчисленні x використовуємо вже отримані значення x, x, x :
x = -0.0280 x - 0.0779 x - 0.0405x x + 1.5489 = 1.4037
Аналогічним чином проведемо обчислення при k = 2 і k = 3. Отримаємо:
при k = 2
x = 0.8019, x = 0.9996, x = 1.9996, x = 1.4000. br/>
при k = 3
x = 0.80006, x = 1.00002, x = 1.19999, x = 1.40000. br/>
Відомі точні значення змінних:
В
x 1 = 0.8, x 2 = 1.0, x 3 = 1.2, x 4 = 1.4.
Порівняння з прикладом 3.5 показує, що метод Зейделя сходиться швидше і дає більш точний результат.
В
Тема 4. Наближення функцій
4.1 Постановка завдання
Задача наближення (апроксимації) функцій полягає в тому, щоб для даної функції побудувати іншу, відмінну від неї функцію, значення якої достатньо близькі до значенням даної функції. Така задача виникає на практиці досить часто. Зазначимо найбільш типові випадки. p> 1. Функція задана таблицею в кінцевому безлічі точок, а обчислення потрібно провести в інших точках.
2. Функція задана аналітично, але її обчислення за формулою скрутно.
При вирішенні завдання пошуку наближеною функції виникають наступні проблеми.
1. Необхідно вибрати вид наближеною функції. Для наближення широко використовуються многочлени, тригонометричні функції, показові функції і т. д.
2. Необхідно вибрати критерій близькості вихідної і наближеною функції. Це може бути вимога збіги обох функцій у вузлових точках (задача інтерполяції), мінімізація середньоквадратичного ухилення...
