величини | x- x |, i = 1, 2, 3, 4, а отже, і max | x- x | не стануть менше e = 10 -3 .
Послідовно обчислюємо:
при k = 1
x = - 0.0574 x - 0.1005 x - 0.0431 x + 1.0383 = 0.7512
x = - 0.0566 x - 0.0708 x - 0.1179 x + 1.2953 = 0.9511
x = - 0.1061 x - 0.0758 x - 0.0657 x + 1.4525 = 1.1423
x =-0.0280x - 0.0779x - 0.0405x + 1.5489 = 1.3601
при k = 2
x = 0.8106, x = 1.0118, x = 1.2117, x = 1.4077. br/>
при k = 3
x = 0.7978, x = 0.9977, x = 1.1975, x = 1.3983. br/>
при k = 4
x = 0.8004, x = 1.0005, x = 1.2005, x = 1.4003. br/>
Обчислюємо модулі різниць значень x при k = 3 і k = 4:
| x-x | = 0.026, | x-x | = 0.028, | x-x | = 0.0030, | x-x | = 0.0020.
Так як всі вони більше заданої точності e = 10 -3 , продовжуємо ітерації. br/>
При k = 5
x = 0.7999, x = 0.9999, x = 1.1999, x = 1.3999.
Обчислюємо модулі різниць значень x при k = 4 і k = 5:
| x-x | = 0.0005, | x-x | = 0.0006, | x - x | = 0.0006, | x-x | = 0.0004. p> Всі вони менше заданої точності e = 10 -3 , тому ітерації закінчуємо. Наближеним рішенням системи є наступні значення:
В
x 1 0.7999, x 2 0.9999, x 3 1.1999, x 4 1.3999.
Для порівняння наведемо точні значення змінних:
В
x 1 = 0.8, x 2 = 1.0, x 3 = 1.2, x 4 = 1.4.
3.7 Метод Зейделя
Модифікацією методу простих ітерацій Якобі можна вважати метод Зейделя.
У методі Якобі на ( k +1)-ої ітерації значення x , i = 1, 2, ..., n . обчислюються підстановкою в праву частину (3.27) обчислених на попередній ітерації значень x. У методі Зейделя при обчисленні x використовуються значення x, x, x, вже знайдені на ( k +1)-ої ітерації, а не x, x, ..., x , як в методі Якобі, тобто ( K + 1)-е наближення будується наступним чином:
В
x = b 12 x + b 13 x + ... + b 1 , n- 1 x + b 1 n x + c 1
x = b 21 x + b 23 x + ... + b 2 , n- 1 x + b 2 n x + c 2
x = b 31 x + b 32 x + ... + b 3 , n- 1 x + b 3 n x + c 3 (3.36)
В
x = b n 1 x + b n 2 xx + b n 3 x x + ... + b n, n- 1 xВ + c. N
Формули (3.36) є розрахунковими формулами методу Зейделя . p> Введемо нижню і верхню трикутні матриці:
0 0 0 ... 0 0 b 12 b 13 ... < i> b 1 n
b 21 0 0 ... 0 0 0 b 23 ... b 2 n
B 1 = b 31 b 32 0 ... 0 і B 2 = 0 0 0 ... B 3 n.
В
b n 1 b n 2 b n 3 ... 0 0 0 0 ... 0
Матрична запис розрахункових формул (3.36) має вигляд:
x k + 1 = B 1 x k + 1 + B 2 x k + c . (3.37)
Так як B = B 1 + B 2 , точне рішення x * вихідної системи задовольняє рівності:
В
...
