(метод найменших квадратів) та ін
3. Необхідно зазначити правило (алгоритм), що дозволяє з заданою точністю знайти наближення функції. p> 4.2 Наближення функції многочленами Тейлора
Нехай функція y = f ( x ) визначена в околі точки a і має в цій околиці n + 1 похідну. Тоді в цій околиці справедлива формула Тейлора:
f ( x ) = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - A ) 2 + ... + c n ( x - a ) < sup> n + R n ( x ) = T n ( x ) + R n ( x ) ,
де
В
c k =
В
T n ( x ) - многочлен Тейлора:
В
T n ( x ) = c 0 + c 1 ( x - A ) + c 2 ( x - a ) 2 + ... + c n ( x - A ) n , (4.1)
В
R n ( x ) - залишковий член формули Тейлора. Його можна записати різними способами, наприклад, у формі Лагранжа:
В
R n ( x ) =, a ВЈ x ВЈ x.
Многочлен Тейлора (4.1) має властивість, що в точці x = a всі його похідні до порядку n включно збігаються з відповідними похідними функції f , тобто
В
T ( a ) = f ( k ) ( a ) , k = 0, 1, ..., n.
У цьому легко переконатися, диференціюючи T n ( x ) . Завдяки цьому властивості многочлен Тейлора добре наближає функцію f в околиці точки a. Похибка наближення становить
| f ( x ) - T n ( x ) | = | R n ( x ) |,
т. е. задаючи деяку точність e > 0, можна визначити околиця точки a і значення n з умови:
| R n ( x ) | = < e . (4.2)
В
Приклад 4.1.
Знайдемо наближення функції y = sinx многочленом Тейлора в околиці точки a = 0. Скористаємося відомим виразом для k -ої похідної функції sinx:
( sinx ) (k) = sin x + k (4.3)
Застосовуючи послідовно формулу (4.3), отримаємо:
В
f (0) = Sin 0 = 0;
f ' (0) = Cos (0) = 1;
f " (0) = -sin 0 = 0;
f (2 k- 1) (0) = sin (2 k - 1) = (-1) K - 1 ;
f (2 k ) (0) = 0;
f (2 k + 1) (x) = (-1) k cos x .
Отже, многочлен Тейлора для функції y = sinx для n = 2 k має вид:
В
sinx = x - + ... + ( - 1) k - 1 + R 2 k ( x ),
R 2 k ( x ) = ( - 1) < i> k .
Задамо e = 10 -4 і відрізок [ -, ]. Визначимо n = 2 k з нерівності:
| R 2 k ( x ) | = <<< e = 10 -4 . br/>
Таким чином, на відрізку -, функція y = sinx з точністю до e = 10 -4 дорівнює многочлену 5-ої ступеня:
В
sinx = x - + = x - 0.1667 x 3 + 0.0083 x 5 . <В
Приклад 4.2 . p> Знайдемо наближення функції y = e x многочленом Тейлора на відрізку [0, 1] з точністю e = 10 -5 . p> Виберемо a = ВЅ, т. е в середині відрізка. При цьому величина похибки в лівій частини (4.2) приймає мінімальне значення. З математичного аналізу відомо, що для k -ої похідної від e x справедливо рівність:
( e x ) (k) = E x .
Тому
( e a ) (k) = e a = e 1 / 2 ,
Отже, многочлен Тейлора для функції y = e x має вигляд:
В
e x = e 1 / 2 + e 1 / 2 ( x - ВЅ) + ( x - ...
