.
Вдальнейшем, замість того щоб говорити про систему S і її дійсних рішеннях, а також про систему * S і її гіпердействітельних рішеннях, будемо говорити про дійсних і гіпердействітельних рішеннях системи S (говорячи про гіпердойствітельних рішеннях системи S , ми насправді будемо мати на увазі гіпердействітельние рішення системи * S). p> Приклад 5. Якщо A = BГ‡C, то * A = * BГ‡ * C. Справді, кожна з систем
х ГЋ B , х ГЋ З , х ГЏ А;
х ГЋ A , х ГЏ B ;
х ГЋ A , х ГЏ З .
не має дійсних, і, отже, гіпердействітельних рішень. (Точніше, слід було б говорити про аналоги цих систем) Звідси отримуємо, що * В Г‡ * С ГЊ * A (перша система), * АГЊ * С (друга) та * AГЊ * C (третя), звідки випливає, що * AГЊ * BГ‡ * C. p> Наші вимоги до системи гіпердействітельних чисел складалися з двох частин. По-перше, * R має бути впорядкованим неархимедовой полем, розширюють R. По-друге, повинні існувати аналоги для всіх дійсних функцій, що задовольняють вимогу одночасної розв'язності систем рівнянь. Ці вимоги виявляються надлишковими:
той факт, що гіпердействітельние аналоги додавання, множення і т. п. перетворюють * R в полі, можна вивести з вимоги одночасної розв'язності систем рівнянь. br/>
8. ПОБУДОВА СИСТЕМИ ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНИХ ЧИСЕЛ
Розглянемо питання про існування гіпердействітельних чисел. Точніше це питання слід сформулювати так: чи можна побудувати розширення множини дійсних чисел, для якого виконувалася б Основна гіпотеза. Основна гіпотеза вимагає, щоб:
(1) була деяка безліч R , для якого RГЊ * R;
(2) для кожної функції f: R n В® R була деяка функція * f: * R n В® * R що є продовженням вихідної;
(3) будь-яка система рівнянь і нерівностей, гіпердействітельний аналог який має (гіпердействітельние) рішення, мала дійсні рішення;
(4) * R містило нескінченно малі елементи, відмінні від нуля.
Покажемо, яким чином цим вимогам можна задовольнити. Розглянемо один з можливих варіантів переходу від Q (безлічі раціональних чисел) до R (безлічі дійсних чисел). Розглядаються всілякі фундаментальні послідовності раціональних чисел, тобто такі послідовності, що для будь-якого e> 0 існує відрізок довжини e, містить всі члени послідовності, окрім кінцевого числа. Дві такі послідовності x n і y n називають еквівалентними, якщо x n -y n прагне 0 при п В® ВҐ . Це відношення еквівалентності розбиває фундаментальні послідовності на класи, які і називаються дійсними числами.
Ми досягнемо мети, якщо від послідовностей перейдемо до класів послідовностей, вважаючи, що дві послід...
