овності x 0 , x 1 , x 2 , .... і y 0 , y 1 , y 2 , ... задають одне і те ж гіпердействітельное число, якщо x n = y n "для більшості натуральних чисел n". p> Для наочності будемо представляти собі, що проводиться голосування з питання "чи вважати послідовності x n і y n співпадаючими". У ньому голосуючими є натуральні числа, причому число п голосує "за", якщо
x n = y n , і "проти", якщо x n В№ y n < i>. Будемо вважати послідовності x n і y n співпадаючими, якщо більшість натуральних чисел голосують за це. Потрібно пояснити лише, яка система підрахунку голосів, тобто які безлічі натуральних чисел ми вважаємо "великими" (що містять "більшість" натуральних чисел), а які "малими" (що містять "меншість" натуральних чисел). Перерахуємо ті властивості, яким повинна задовольняти система підрахунку голосів, т. з. поділ множин натуральних чисел на великі і малі.
1. Будь-яке безліч натуральних чисел є або великим, або малим. Жодне безліч не є великим і малим одночасно. (Голосування має завжди давати відповідь.) p> 2. Безліч всіх натуральних чисел велике, порожнє безліч мале. (Пропозиція, за яке голосують всі, приймається.)
3. Доповнення (до N) будь-якого малого множини є великим, доповнення будь-якого великого безлічі - малим. (З двох протилежних законопроектів отримує більшість голосів рівно одні.)
4. Будь-яка підмножина малого безлічі є малим, будь надмножество великої множини - великим. (Втративши частину голосів, знехтуваний законопроект не може стати прийнятим.)
5. Об'єднання двох малих множин є малим, перетин двох великих множин є великим. (Якщо кожна з двох груп голосуючих не утворює більшості, то вони і разом НЕ утворюють більшості ("неможливість коаліції"); якщо кожна з груп становить більшість, то голосують, що входять одночасно в обидві групи, вже становлять більшість.)
Ці вимоги дуже сильні. Щоб зрозуміти це, розглянемо випадок кінцевого безлічі голосуючих (получающийся заміною N на деякий кінцеве безліч М). Чи тоді задовольнити цим вимогам? Один спосіб майже очевидний. Виберемо одного з "голосуючих" т ГЋ М і назвемо великими всі множини, що містять m, а малими - всі множини, що не містять т ( "диктатура" m) . При такому визначенні легко перевірити всі властивості 1-5. Виявляється, що цим вичерпуються всі можливості задовольнити вимогам 1-5 для випадку кінцевого безлічі M. Справді,, нехай є розбиття всіх множин на великі і малі, яке задовольняє вимогам 1-5. Розглянемо тоді все більші безлічі і виберемо з них безліч M0, що містить найменше можливе число елементів (серед великих множин). Безліч M0 непорожньо. Якщо воно містить рівно один елемент m, то в силу властивості 4 всі множини, що містять т, <...
