> 2 в”Ђ постійні інтегрування. Далі, в силу співвідношення максимуму (D) ми знаходимо, враховуючи (1.31) і (1.30):
u ( t ) = +1, якщо П€ 2 ( t )> 0; u ( t ) = в”Ђ 1, якщо П€ 2 ( t ) < ; 0.
Інакше кажучи, u ( t ) = sign П€ 2 ( t ) = sign (в”Ђ d 1 t + d 2 ). Звідси випливає, що кожне оптимальне управління u ( t ), t 0 ≤ t ≤ t 1 , є кусково-постійною функцією, що приймає значення і має не більше двох інтервалів сталості (бо лінійна функція в”Ђ d 1 t + d 2 не більше одного разу змінює знак на відрізку t 0 ≤ t ≤ t 1 ).
Для відрізка часу, на якому u 1, ми маємо (в силу системи (1.29)), звідки знаходимо
x 1 = 1/2 ( x 2 ) 2 + c . (1.32)
В
Таким чином, шматок фазової траєкторії, для якого u 1, являє собою дугу параболи (1.32). Сімейство парабол (1.32) показано на рис. 13 (вони виходять один з друга зрушенням у напрямку осі x 1 ). За цим параболам фазові точки рухаються знизу вгору (бо = u 1, тобто). p> Аналогічно для відрізка часу, на якому u в”Ђ 1, ми маємо, звідки знаходимо
x 1 = в”Ђ 1/2 ( x 2 ) 2 + c '. (1.33)
Сімейство парабол (1.33) (також утворюються один з одного зрушенням у напрямку осі x 1 ) показано на рис. 14. За параболам (1.33) фазові точки рухаються зверху вниз (бо)
В
Як було зазначено вище, кожне оптимальне управління u ( t ) є кусково-постійною функцією, приймаючої значення та що має не більше двох інтервалів сталості. Якщо управління u ( t ) спочатку, протягом деякого часу, рівно +1, а потім одно в”Ђ 1, то фазова траєкторія складається з двох шматків парабол (рис. 15), що примикають один до одного, причому другий з цих шматків лежить на тій із парабол (1.33), яка проходить через початок координат (бо шукана траєкторія повинна вести в початок координат). Якщо ж, навпаки, спочатку u = в”Ђ 1, а потім u = + 1, то ми отримуємо фазову траєкторію, зображену на рис. 16. На рис. 15, 16 надписані на дугах парабол відповідні значення керуючого параметра u .
На рис. 17 зображено все сімейство отриманих таким чином фазових траєкторій (тут AO в”Ђ дуга параболи x 1 = 1/2 ( x 2 ) 2 , розташована в нижній півплощині; BO в”Ђ дуга параболи x 1 = в”Ђ 1/2 ( x 2 ) 2 , розташо...
