вана у верхній півплощині).
В
Отже, згідно з принципом максимуму тільки зображені на рис. 17 траєкторії можуть бути оптимальними, причому видно, що з кожної точки фазовій площині виходить тільки одна траєкторія, ведуча в початок координат, яка може бути оптимальною (тобто завдання початкової точки x 0 однозначно визначає відповідну траєкторію).
8. Проблема синтезу оптимальних управлінь. Подивимося на розібраний в попередніх пунктах приклад з дещо іншою точки зору. Знайдене вище рішення оптимальної задачі можна витлумачити наступним чином. Позначимо через v ( x ) = +1 нижче лінії AOB і на дузі AO , v ( x ) = в”Ђ 1 вище лінії AOB і на дузі BO . Тоді (див. 17) на кожній оптимальної траєкторії значення u ( t ) керуючого параметра (в довільний момент часу t ) одно v ( x ( t )), тобто дорівнює значенню функції v в тій точці, в якій в момент t знаходиться рухома фазова точка, пробігає оптимальну траєкторію u ( t ) = v ( x ( t )) . Це означає, що, замінивши в системі (1.29) величину u функцією v ( x ), ми отримаємо систему
(1.34)
вирішення якої (При довільному початковому стані x 0 ) дає оптимальну фазову траєкторію, провідну в початок координат. Інакше кажучи, система (1.34) являє собою систему диференціальних рівнянь (з розривною правою частиною) для знаходження оптимальних траєкторій, провідних в початок координат.
Розглянутий приклад показує, що рішення задачі про оптимальні управліннях природно очікувати в такій формі. Будемо вирішувати оптимальну задачу в загальній постановці:
В
(див. п. 3), розглядаючи всілякі початкові стану і щоразу наказуючи в якості кінцевого стану початок координат O фазового простору. Тоді (наскільки можна судити з розібраному вище прикладу) існує така функція v ( x ), задана у фазовому просторі V приймаюча значення в галузі управління U, що рівняння
(1.35)
визначає всі оптимальні траєкторії, провідні в початок координат. Інакше кажучи, оптимальне управління виявляється природним шукати не у формі u = u ( t ), а у формі u = v (< i> x ), тобто шукане оптимальне управління в кожний момент залежить лише від того, в якій точці простору знаходиться в даний момент фазова точка .
Функцію v ( x ), що дає рівняння оптимальних траєкторій у формі (1.35), називають синтезує функцією, а задачу знаходження синтезуючої функції в”Ђ завданням синтезу оптимальних управлінь. У розібраному прикладі синтезує функція була кусково-неперервної (навіть кусково-постійної).
Г л а в а II
<...
