ня аж ніяк не необхідно для оптимальності. Ось чому сформульовані вище теореми не можуть вважатися необхідними умовами оптимальності.
Чудовим, однак, є той факт, що якщо в теоремі 1.2 рішення П€ ( t ) і умова максимуму (D) розглядати на всьому відрізку t 0 ≤ t ≤ t 1 ( а не тільки при t 0 ≤ t < t 1 ) , а заключне умова
H ( ψ ( t 1 ), x ( t 1 ), u ( t 1 )) ≥ 0, (E)
то в цій формі принцип максимуму буде справедливий без яких би то не було припущень про функції П‰, тобто принцип максимуму стане вельми зручним і широко застосовним необхідним умовою оптимальності.
В§ 3. Приклад. Завдання синтезу
7. Приклад застосування принципу максимуму. У цьому пункті ми розберемо один приклад обчислення оптимальних процесів. Саме, розглянемо керований об'єкт, згаданий в п. 3 (див. рівняння (1.1)), за умови, що сила тертя і пружна сила відсутні (тобто b = 0, k = 0), маса m дорівнює одиниці ( m = 1), а керуючий параметр підпорядкований обмеженням | u | ≤ 1. Інакше кажучи, ми розглядаємо матеріальну точку G маси m = 1 (див. рис. 10), вільно і без тертя що рухається по горизонтальній прямій і забезпечену двигуном, що розвиває силу u , де | u | ≤ 1. Згідно (1.1) рівняння руху цього об'єкта мають вигляд:
(1.29)
─ 1 ≤ u ≤ 1. (1.30)
Для цього об'єкту розглянемо завдання про якнайшвидше попаданні в початок координат (0, 0) із заданого початкового стану x 0 = ( x 0 1 , x 0 2 ). Інакше кажучи, будемо розглядати завдання про оптимальний швидкодії у разі, коли кінцевим положенням служить крапка x 1 = (0, 0). Механічно це означає, що матеріальну точку, що має задане положення x 0 1 і задану початкову швидкість x 0 2 , ми хочемо за найкоротший час привести в початок відліку з нульовою швидкістю (тобто домогтися того, щоб точка прийшла в початок відліку і зупинилася там).
Функція H в розглянутому випадку має вигляд
H = П€ 1 x 2 + П€ 2 u (1.31)
(див. (1.29) і (B)). Далі, для допоміжних змінних П€ 1 , П€ 2 ми отримуємо систему рівнянь. З цієї системи рівнянь знаходимо: П€ 1 = d 1 ; П€ 2 = в”Ђ d 1 t + d 2 , де d 1, d
