ність за будь-яких. Так як, то при і при. Тобто при і при. Звідси випливає, що для будь-якого? > 0 ймовірності
і
прагнуть до нуля при. Це означає, що
В
прагне до нуля при, тобто сходитися до по ймовірності.
.2 Рішення задач на центральну граничну для незалежних однаково розподілених випадкових величин
. У результаті технічної перевірки 900 електроприладів встановлено, що в середньому термін безвідмовної роботи приладів збільшився на 1,2 року порівняно з середнім терміном безвідмовної роботи приладів, отриманих за підсумками попередніх перевірок. Чи можна пояснити випадковістю подібне відхилення, якщо вважати середньоквадратичне відхилення терміну безвідмовної роботи електроприладів рівним 8 років? p> Рішення
Позначимо через термін безвідмовної роботи-го електроприладу, і будемо розглядати послідовність випадкових величин, для яких,,.
Введемо позначення.
Так як, - незалежні однаково розподілені випадкові величини, то до них застосовна центральна гранична теорема для незалежних однаково розподілених випадкових величин, яка встановлює рівномірну відносно () збіжність
,
де - функція стандартного нормального розподілу.
При великих () має місце наближена рівність
.
Обчислимо ймовірність того, що термін безвідмовної роботи приладів збільшиться більш ніж на 1,2 року порівняно з терміном роботи приладів:
В
.
Відповідь: отримана ймовірність дуже мала, і ми можемо зробити висновок, що не можна пояснити випадковістю дане відхилення.
. Інтеграл обчислений методом Монте-Карло. Скільки дослідів потрібно провести, щоб з імовірністю більшої 0,99, можна було вважати абсолютну похибку обчислення значення інтеграла що не перевищує 0,1% від? p> Рішення
Значення інтеграла можна розглядати як математичне сподівання функції від випадкової величини, де - випадкова величина, рівномірно розподілена на з щільністю.
Нехай - незалежні рівномірні на випадкові числа. Тоді можна розглядати як наближене значення інтеграла значення випадкової величини
.
Обчислимо
;
.
Так як - незалежні і однаково розподілені випадкові величини, що мають кінцеві дисперсії:
,
то до цих випадковим величинам застосовна ЦПТ:
В
.
Введемо. При великих ()
.
З умови задачі, ймовірність такої похибки більше 0,99:
;
,,,
,.
Відповідь: необхідно виробити не менше дослідів.
. Інтеграл обчислений методом Монте-Карло на підставі 1000 незалежних дослідів. Знайти ймовірність того, що абсолютна похибка у визначенні величини вбирається 0,01. p> Рішення
Значення інтеграла можна розглядати як математичне сподівання функції випадкової величини, де - випадкова величина...
