Реферат Обчислювальна математика

ВЅ) 2 + ... + ( x - ВЅ) n + R n ( x ),

При цьому, враховуючи, що x ГЋ [0, 1], отримаємо оцінку похибки:

| R n ( x ) | <. (4.4)

Складемо таблицю похибок, обчислених за формулою (4.4):

В 

n

2

3

4

5

6

R n

0.057

0.0071

0.00071

0.000059

0.0000043

Таким чином, слід взяти n = 6.

4.3 Інтерполяція функції многочленами Лагранжа

Розглянемо інший підхід до наближення функції многочленами. Нехай функція y = f ( x ) визначена на відрізку [ a, b ] і відомі значення цієї функції в деякій системі вузлів x i ГЋ [ a, b ], i = 0, 1, ..., < i> n. Наприклад, ці значення отримані в експерименті при спостереженні деякої величини в певних точках або в певні моменти часу x 0 , x 1 , ..., x n . Позначимо ці значення наступним чином: y i = f ( x i ), i = 0, 1, ..., n. Потрібно знайти такий многочлен P ( x ) ступеня m,

В 

P ( x ) = A 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + A m x m , (4.5)

який би в вузлах x i , i = 0, 1, ..., n приймав ті ж значення, що і початкова функція y = f ( x ), тобто

В 

P ( x i ) = Y i , i = 0, 1, ..., n . (4.6)

Многочлен (4.5), що задовольняє умові (4.6), називається інтерполяційним многочленом . p> Іншими словами, ставиться завдання побудови функції y = P ( x ), графік якої проходить через задані точки ( x i , y i ), i = 0, 1, ..., n (рис. 4.1).

В 

Рис. 4.1

Об'єднуючи (4.5) і (4.6), отримаємо:

В 

a 0 + a 1 x i + a 2 x + ... + a m x = y i , i = 0, 1, ..., n. (4.7)

У шуканому многочлене P ( x ) невідомими є m +1 коефіцієнт a 0 , a 1 , a 2 , ..., a m . Тому систему (4.7) можна розглядати як систему з n +1 рівнянь з m +1 невідомими. Відомо, що для існування єдиного вирішення такої системи необхідно, щоб виконувалася умова: m = n . Таким чином, систему (4.7) можна переписати у розгорнутому вигляді:

a 0 + a 1 x 0 + a 2 x + ... + A n x = y 0

a 0 + a 1 x 1 + a 2 x + ... + a n x = y 1

a 0 + a 1 x 2 + a 2 x + ... + a n x = y 2 (4.8)

.

a 0 + a 1 x n + a 2 x + ... + a n x = y n

Питання про існування та єдність інтерполяційного многочлена вирішує наступна теорема:

В 

Теорема 4.1. Існує єдиний інтерполяційний многочлен ступеня n , що задовольняє умовам (4.6).

Є різні форми запису інтерполяційного многочлена. Широко поширеною формою запису є многочлен Лагранжа

В 

L n ( x ) == . (4.9)

Зокрема, для лінійної і квадратичної інтерполяції за Лагранжем отримаємо наступні інтерполяційні многочлени:

В 

L 1 ( x ) = Y 0 + y 1 ,

L 2 ( x ) = Y 0 + y 1 + y 2 .

В 

Приклад 4.3.

Побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа за наступними даними: