p>
ЛІНІЙНІ оптимальної швидкодії В§ 4. Лінійна задача оптимального управління
9. Формулювання завдання. Нижче будуть детально вивчені керовані об'єкти, рух яких описується лінійними диференціальними рівняннями щодо величин x 1 , ..., x n , u 1 , ..., u r , тобто рівняннями виду
i = 1,2, ..., n , (2.1)
де a i О± і b i ОІ в”Ђ деякі постійні коефіцієнти.
Одним з найбільш важливих для додатків є випадок, коли кожна з величин u 1 , u 2 , ..., u r в рівняннях (2.1) являє собою окремий керуючий параметр, область зміни якого не залежить від значень інших керуючих параметрів і задається нерівностями
ОІ = 1, ..., r . (2.2)
Як було зазначено вище (див. п. 4), ці нерівності визначають r - мірний паралелепіпед .
У Надалі при розгляді об'єктів виду (2.1) передбачатиметься, що керуючий параметр u = ( u 1 , u 2 , ..., u r ) може змінюватися в замкнутій області управл ення U , що представляє собою опуклий багатогранник (що лежить в просторі змінних u 1 , u 2 , ..., u r ).
Для того щоб записати рівняння (2.1) у векторній формі, ми введемо в розгляд матриці
(2.3)
елементами яких є коефіцієнти a i О± , b i ОІ , що входять в рівняння (2.1). Як звичайно, результат застосування матриці A до вектора x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) ми будемо позначати символом Ax , тобто y = Ax є n- мірний вектор, координати якого визначаються формулами
(2.4)
Аналогічно для будь-якого r- мірного вектора u = ( u 1 , u 2 , ..., u r ) через Bu позначається вектор, i- я координата якого дорівнює Таким чином, матриця A визначає лінійне відображення координатного n- мірного простору знову в n- мірний простір, а матриця B визначає відображення r- мірного простору в n- мірне.
Користуючись матрицями A і B , ми можемо тепер записати рівняння (2.1) у векторній формі:
(2.5)
Нехай u ( t ) = ( u 1 , u 2 , ..., u r ) в”Ђ довільне допустиме (в сенсі п. 4) управління, задане на деякому відрізку t 0 ≤ t ≤ t 1 ...
