y, z). Більш зручним (коли ступінь многочлена? (X, y, z) не надто висока) є метод приватних значень. p> Саме, якщо антісімметріческій многочлен? (x, y, z) має третю ступінь, то приватне
()
є многочленом нульової ступеня, тобто числом:
? (x, y, z) = k В· T (x, y, z).
Це співвідношення є тотожністю, тобто справедливо при будь-яких значеннях x, y, z. Тому для визначення числа k достатньо в останній рівності надати x, y, z які-небудь (попарно різні) числові значення, звідси і визначається число k. p> Якщо антісімметріческій многочлен? (x, y, z) є однорідним многочленом четвертого ступеня, то приватне () є однорідним симметрическим многочленом першого ступеня, тобто має вигляд:
? (x, y, z) = T (x, y, z) В·
(k - число). І тут для визначення невідомого коефіцієнта k достатньо надати x, y, z будь числові значення. p> Аналогічно, якщо? (x, y, z) - однорідний антісімметріческій многочлен п'ятого ступеня, то приватне () є однорідним симметрическим многочленом другого ступеня, тобто має вигляд, де k і l - невідомі коефіцієнти:
? (x, y, z) = T (x, y, z) В· ().
Для знаходження двох невідомих коефіцієнтів k, l ми повинні двічі надати x, y, z деякі числові значення.
Якщо? (x, y, z) - однорідний антісімметріческій многочлен шостого ступеня, то
? (x, y, z) = T (x, y, z) В· (),
і так далі
Розглянемо приклади.
1. розкласти на множники антісімметріческій многочлен
В
це многочлен третього ступеня, отже? (x, y, z) = k В· T (x, y, z).
=.
Щоб знайти коефіцієнт k, покладемо x = -1, y = 0, z = 1
2 = (-2) k, k = -1
Таким чином,
==
2. розкласти на множники антісімметріческій многочлен
В
це многочлен четвертого ступеня, отже? (x, y, z) = T (x, y, z) В·.
==.
Вважаючи x = 0, y = 1, z = 2
= (-6) k, k = 1
=.
Спрощення виразів алгебри
Прийоми розкладання на множники, розглянуті в попередньому пункті, зручно застосовувати також і при вирішенні деяких інших алгебраїчних задач. Наприклад, ці прийоми з успіхом застосовуються для доказу тотожностей, в лівій і правій частині яких стоять антісімметріческіе многочлени. Точно так само, якщо в чисельнику і знаменнику дробу стоять антісімметріческіе многочлени від трьох змінних, то дріб завідомо може бути скорочена на T (x, y, z). Розглянемо приклади. p align="justify"> 1. спростити вираз
В
Наведемо до спільного знаменника, одержимо:
.
Чисельник є антісімметріческім многочленом третього ступеня і тому пропорційний многочлену T (a, b, c) = (ab) (ac) (bc), тобто
