значення фрактальної розмірності. Нехай на деякому етапі покриття фрактала нам довелося використовувати, як мінімум, N (l) таких елементів характерного розміру l, а на іншому N (l ') елементів розміру l'. Тоді величина фрактальної розмірності D може бути обчислена за формулою [6]:
(18)
Очевидно, цю формулу можна переписати у вигляді:
(19)
що є наслідком висловлення (16).
.10 Фрактальна розмірність кластерів
Визначення розмірності Хаусдорфа-Безиковича D і тим самим фрактальної розмірності множини точок вимагає, щоб діаметр покривають множин прагнув до нуля. Що ж до фізичних систем, то вони, взагалі кажучи, володіють характерним мінімальним лінійним розміром, таким, як радіус R o атома або молекули. Стосовно до ідей, викладених у попередньому розділі, це означає, що математичну лінію необхідно замінити лінійної ланцюжком "молекул", або мономерів. Двовимірне безліч точок ми замінюємо плоским набором мономерів, а об'єм - деякої упаковкою сфер. Число мономерів в ланцюгу довжиною L = 2R одно [1]:
(20)
Для набору мономерів, що утворюють круглий диск, отримуємо
(21)
Щільність числа мономерів для щільно упакованих сфер становить . Виписані нами співвідношення застосовні тільки в межі при R/R o "1, оскільки і периметр круглого диска, і сферичну поверхню кулі можна покрити мономерами тільки наближено. Для трьох перерахованих щойно випадків ми можемо вказати асимптотическую форму для співвідношення між числом частинок і розміром "кластера", який оцінюється по радіусу R найменшою сфери, яка містить кластер всередині себе; вона має вигляд
, (22)
Величина D в цьому співвідношенні "число частинок-радіус" називається розмірністю кластера. Оскільки маса всіх мономерів однакова, число часток N часто інтерпретують як масу, - як щільність маси, а розмірність кластера називають розмірністю маси.
Щільність залежить від того, як упаковані мономери. Наприклад, якщо сфери упаковані в обсязі випадковим чином, то щільність знижується з до 0,637. Для інших різновидів кластерів вираз для щільності містить множники, що враховують форму кластера. Наприклад, для еліпсоїда обертання з відношенням пів...
