Правильніше сказати, що в певних діапазонах спостереження природні об'єкти, що виникли в результаті довгої дифузії і абсорбції, схожі на фрактальні множини. Наприклад, розмірність узбережжя лежить між 1,01 і 1,6, а кровоносної системи людини - між 2,4 і 2,6 [8]. p align="justify"> Дамо тепер загальне визначення фрактальної розмірності. Нехай d - звичайна Евклидова розмірність простору, в якому знаходиться наш фрактальний об'єкт. Покриємо тепер цей об'єкт цілком d-мірними "кулями" (під "кулею" в залежності від завдання ми будемо розуміти також і куб, і квадрат, і просто відрізок прямий) радіуса l. Припустимо, що нам було потрібно для цього не менш ніж N (l) куль. Тоді, якщо при досить малих l величина N (l) змінюється з l за степеневим законом [6]:
, (16)
то D - називається хаусдорфовой або фрактальної розмірністю цього об'єкта.
Формулу (16) можна переписати також у вигляді
(17)
Це і служить загальним визначенням фрактальної розмірності D. Відповідно до нього величина D є локальною характеристикою даного об'єкта. p align="justify"> Покажемо, що це визначення дає звичні для нас цілочисельні значення розмірності для звичайних добре відомих множин. Так, для множини, що складається з кінцевого числа ізольованих точок, N, мінімальне число d-мірних "куль", за допомогою яких ми можемо покрити це безліч, при досить малому розмірі куль збігається, очевидно, з кількістю крапок, тобто N (l) = N і не залежить від діаметра цих куль l. Отже, згідно з формулою (17), фрактальна розмірність цієї множини D = 0. Вона збігається із звичайною Евклідової розмірністю ізольованою точки d = 0 (точка - нульмерние об'єкт). p align="justify"> Для відрізка прямої лінії довжиною L (що складається з нескінченного числа точок) мінімальне число N (l) одновимірних відрізків розміру l, за допомогою яких можна покрити даний відрізок цілком, так само, очевидно, N (l) = L/l. У цьому випадку, згідно з формулою (17) (або (16)), фрактальна розмірність D = 1, тобто збігається з Евклідової розмірністю відрізка прямої d = 1. Для області площею S гладкою двовимірної поверхні число необхідних для її покриття квадратиків N (l) = S/l 2 (при досить малих l), тому фрактальна розмірність гладкій поверхні D = 2. І нарешті, для покриття деякого кінцевого об'єму V необхідно N (l) = V/l 3 кубиків з ребром l. Отже, фрактальна розмірність цієї множини D = 3.
Розберемо тепер деякі класичні приклади регулярних фракталів, які мають властивість ідеального самоподібності. Їх покриття можна здійснювати елементами, з яких складається даний фрактал. У цьому випадку має місце спрощений варіант формули (17) для ви...
