ктивних сил, баз і складів систем поводження матеріальних ресурсів і т.д.
Особливо широке застосування методи і моделі лінійного програмування отримали при вирішенні завдань економії ресурсів (вибір ресурсозберігаючих технологій, складання сумішей, розкрій матеріалів), виробничо-транспортних та інших завдань.
Початок лінійному програмування було покладено в 1939 р радянським математиком-економістом Л.В. Канторовичем в роботі Математичні методи організації і планування виробництва raquo ;. Поява цієї роботи відкрило новий етап у застосуванні математики в економіці. Через десять років американський математик Дж. Данциг розробив ефективний метод рішення даного класу завдань - симплекс-метод.
Загальна ідея симплексного методу (методу послідовного поліпшення плану) для вирішення ЗЛП полягає в наступному:
) вміння знаходити початковий опорний план;
) наявність ознаки оптимальності опорного плану;
) вміння переходити до не гіршому опорному плану.
Лінійне програмування - розділ математичного програмування, застосовуваний при розробці методів відшукання екстремуму лінійних функцій декількох змінних при лінійних додаткових обмеженнях, що накладаються на змінні. За типом вирішуваних завдань його методи поділяються на універсальні і спеціальні. За допомогою універсальних методів можуть вирішуватися будь-які завдання лінійного програмування (ЗЛП). Спеціальні методи враховують особливості моделі завдання, її цільової функції і системи обмежень.
Особливістю завдань лінійного програмування є те, що екстремуму цільова функція досягає на кордоні області допустимих рішень. Класичні ж методи диференціального числення пов'язані з перебуванням екстремумів функції у внутрішній точці області допустимих значень. Звідси - необхідність розробки нових методів.
Методи рішення задач лінійного програмування відносяться до обчислювальної математики, а не до економіки. Однак економісту корисно знати про властивості інтелектуального інструменту, яким він користується.
З ростом потужності комп'ютерів необхідність застосування витончених математичних методів знижується, оскільки в багатьох випадках час рахунку перестає бути лімітуючим фактором, воно вельми мало (частки секунд).
Завдання про найкращому використанні ресурсів
Нехай деяка виробнича одиниця (цех, завод, об'єднання і т.д.), виходячи з кон'юнктури ринку, технічних або технологічних можливостей і наявних ресурсів, може випускати n різних видів продукції (товарів), відомих під номерами, що позначаються індексом j (). Будемо позначати цю продукцію Пj. Підприємство при виробництві цих видів продукції повинно обмежуватися наявними видами ресурсів, технологій, інших виробничих факторів (сировини, напівфабрикатів, робочої сили, устаткування, електроенергії і т.д.).
Всі ці види обмежуючих факторів називають інгредієнтами Ri. Нехай їх число дорівнює m; припишемо їм індекс i (). Вони обмежені, і їх кількості рівні відповідно b1, b2, ..., bm умовних одиниць.
Таким чином, - вектор ресурсів. Відома економічна вигода (міра корисності) виробництва продукції кожного виду, обрахована, скажімо, за відпускною ціною товару, його прибутковості, витратам виробництва, ступеня задоволення потреб і т.д.
Приймемо в якості такої міри, наприклад, ціну реалізації сj (), тобто- Вектор цін. Відомі також технологічні коефіцієнти аij, які вказують, скільки одиниць i-го ресурсу потрібно виробництва одиниці продукції gt; j-го виду. Матрицю коефіцієнтів aij називають технологічної і позначають буквою А. Маємо.
Позначимо через план виробництва, що показує, які види товарів П1, ..., Пj, ..., Пn потрібно виробляти і в яких кількостях, щоб забезпечити підприємству максимум обсягу реалізації при наявних ресурсах.
Так як сj - ціна реалізації одиниці j-й продукції, ціна реалізованих xj одиниць дорівнюватиме xjcj, а загальний обсяг реалізації Z=x1c1 + ... + xncn.
Це вираз - цільова функція, яку потрібно максимізувати.
Так як aijxj - витрата i-го ресурсу на виробництво xj одиниць j-й продукції, то, підсумувавши витрата i-го ресурсу на випуск всіх n видів продукції, отримаємо загальну витрату цього ресурсу, який не повинен перевершувати одиниць:
Щоб шуканий план був реалізований, поряд з обмеженнями на ресурси потрібно накласти умова невід'ємності на обсяги xj випуску продукції:
Таким чином, модель задачі про найкращому використанні ресурсів прийме вигляд:
(1)
при обмеженнях:
(2), (3)
Так як змінні xj входять у функцію і систему обмежень тільки в першого ступеня, а показники aij, bi, cj є постійними в планований період, ...
