q =1 маємо
тут і далі y=y (x). Рівність виконується для всіх гладких функцій f (x, y) лише у випадку. Цьому значенню відповідає метод Ейлера. Для похибки цього методу на кроці, згідно (8) отримуємо вираз
.
Розглянемо випадок q=2 . Маємо
де
Обчислимо похідну функції:
Згідно вихідного диференціального рівняння
Підставами у вирази значення h=0 і скористаємося цими співвідношеннями; отримаємо
(9)
Співвідношення виконується при всіх f (x, y), е слі
(10)
співвідношення виконується, якщо
(11)
Таким чином, при всіх f (x, y), якщо виконані три зазначених вище співвідношення (10), (11) щодо чотирьох параметрів. Ставлячи довільно один з параметрів, отримаємо різні методи Рунге-Кутта з похибкою другого порядку малості по h . Наприклад, при отримуємо, що відповідає парі розрахункових формул (6). При отримуємо, що відповідає парі розрахункових формул (7).
У разі q= 3 розрахункових формул, відповідних значенням s =4, не існує. Найбільш уживана сукупність розрахункових формул при q=s=3:
У формул однакового порядку точності по h головні члени похибки на кроці часто виявляються непропорційними. Наприклад, внаслідок (8), (9) головний член похибки формули (6) дорівнює
, де а у формули (7)
Тому можна вказати два рівняння таких, що для першого рівняння меншу похибку дає методом (6), а для другого рівнянням метод (7).
У подібній ситуації рекомендації на користь того чи іншого методу повинні грунтуватися на вольовому рішенні raquo ;, прийнятому з урахуванням традицій і практики використання методів. Поняття практики обчислювальної роботи є досить невизначеним.
Кількість різних класів реально i зустрічаються диференціальних рівнянь істотно перевершує число завдань, у яких проводиться порівняння методів їх чисельного рішення, тому судження з позицій практики не завжди об'єктивні. Однак незважаючи на таку невизначеність, критерій практики часто несе в собі певну позитивну інформацію, яка часто на даному етапі розвитку науки не може бути формалізована або обгрунтована.
Якщо історично перший з методів розглянутого класу виявився прийнятним, то надалі користувачі звикають до нього. Заміна цього методу на інший, навіть більш ефективний метод вимагає певних витрат часу на звикання користувачів до нового методу (а отже, і певних психологічних витрат). Щоб широке коло користувачів погодився на подібну перебудову, необхідно істотну перевагу нового методу з якої-небудь з характеристик.
При подальшому розгляді для нас буде істотно, що похибка методу на кроці має головний член, а саме справедливо уявлення виду
Намітимо основні етапи докази цього співвідношення. Припустимо, що права частина і всі її похідні до порядку s +1 включно обмежені рівномірно в області.
Тоді також будуть рівномірно обмежені похідні всіх рішень рівняння до порядку s + 2 включно. Відповідно до формули.
Тейлора співвідношення (8) можна записати в уточненій формі
.
Маємо рівність
.
Обидві величини і явно виражаються через значення в точці ( x, y ) функції f та її похідних порядку не вище s ; приклади таких явних виразів (при s =2) ми вже отримували. Оскільки права частина дифференцируема s +1 раз, то звідси випливає, що функція диференційована в області G та її похідні, і рівномірно обмежені в цій області. Аналогічно встановлюється, що величина рівномірно обмежена при. Таким чином, співвідношення (12) має місце.
Список літератури
1. Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков. Чисельні методи. М., 2 002, 632 с.
2. Н. Калиткин. Чисельні методи. М., 1972, А. Самарський. Введення в чисельні методи. М. ,, 270с.
. Ю. Тарасевич. Чисельні методи на Mathcad е. Астрахань, 2000, 70с.
. М. Лапчик, М. Рагуліна, Є. Хеннер. Чисельні методи. М., 2004, 384с.
