Міністерство освіти і науки РФ
ФГБОУ ВПО Пензенська ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет обчислювальної техніки
Кафедра Математика та суперкомп'ютерні моделювання
Контрольна робота
З дисципліни математичний практикум
На тему: рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта
Виконали: Студент гр.11ФМ1
Галкін С.Н.
Перевірив: доцент Долгору І.А.
Пенза 2015.
Методи Рунге-Кутта
В окремому випадку n =1 формула (1) має вигляд
(1)
Цей метод називається методом Ейлера. Можна побудувати інший клас розрахункових формул, до якого належить метод Ейлера. Вкажемо спочатку найпростіші методи цього класу, одержувані з наочних міркувань. Нехай відомо значення y ( x ) і потрібно обчислити значення y (x + h ). Розглянемо рівність
. (2)
При заміні інтеграла в правій частині на величину похибка має порядок, т.е.
.
Оскільки, звідси маємо
Відкидаючи член порядку і позначаючи, отримаємо розрахункову формулу Ейлера. Для отримання більш точної розрахункової формули потрібно точніше апроксимувати інтеграл B правій частині (2).
Скориставшись квадратурної формулою трапеції, отримаємо:
інакше,
, (3)
Відповідна розрахункова формула
(4)
Називається неявній формулою Адамса другого порядку точності . У деяких випадках, зокрема, коли f линейна по y ; це рівняння може бути дозволено відносно. Зазвичай же це рівняння нерозв'язне явно відносно, тому зробимо подальше перетворення алгоритму.
Замінимо y (x + h) B правій частині (3) на деяку величину
(5)
Тоді права частина змінитися на величину
де y знаходиться між y * і y (x + h). Внаслідок припущення (5) ця величина має порядок. Таким чином, за умови (5) має місце співвідношення
Умові (5) задовольняє результат обчислень за формулою Ейлера
.
Останні співвідношення визначають пару розрахункових формул
(6)
При малих h вираз в правій частині (4) задовольняє умові стисливості, тому рівняння (4) також можна вирішувати методом простої ітерації:
.
Якщо обчислюється за методом Ейлера.
,
те, що отримується на першому кроці ітерації, збігається з, одержуваному за формулою (6). Подальші ітерації не призводять до підвищення порядку точності по h ; B той же час іноді головний член похибки зменшується при переході від к. Якщо таке зменшення похибки компенсує зростання обчислювальних витрат на кроці, то воно доцільне.
Можна запропонувати теоретично обгрунтований критерій, що дозволяє при малих h вибирати кожен раз найбільш доцільне число ітерацій. Проте його використання вимагає дуже великого обсягу додаткових обчислень. Тому вибір між числом ітерацій, рівним 1 або 2, зазвичай здійснюється на основі попереднього досвіду, обчислювального експерименту або просто вольовим чином.
Побудуємо іншу пару формул c похибкою на кроці такого ж порядку. Інтеграл у правій частині (2) замінимо за формулою прямокутників:
,
або, що все одно,
.Если,
то, як і в попередньому випадку, маємо
.
якості у * можна взяти результат обчислень за формулою Ейлера c кроком. Цим співвідношенням відповідає пара розрахункових формул
методом Рунге розрахункова формула
Отримані методи відносяться до сімейства методів Рунге-Кутта, що мають наступний вигляд. У процесі обчислень фіксовані деякі числа
;
послідовно отримуємо
і вважаємо
Розглянемо питання про вибір параметрів. Позначимо. Якщо f (x, y) - досить гладка функція своїх аргументів, то і - гладкі функції параметра h . Припустимо, що f (x, y) настільки гладка, що існують похідні, а вибрані так, що. Крім того, припустимо, що існує деяка гладка функція, для якої відповідне значення. Відповідно до формули Тейлора виконується рівність
де. Величина називається похибкою методу на кроці, а s - порядком похибки методу. При ...
