матриці:
) перестановка двох будь-яких рядків (чи шпальт),
) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,
) поповнення лише до рядку (або стовпцю) інший рядки (чи шпальти), помноженою на певна кількість.
Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одне з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.
Еквівалентні матриці є, власне кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A ~ B.
Канонической матрицею називається матриця, у якої на початку
головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких
може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю,
наприклад,.
За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.
. Зворотній матриця
Розглянемо квадратну матрицю
A =.
Позначимо? =Det A.
Квадратна матриця А називається невиродженою, або неособенной, коли його визначник різниться від нуля, і виродженої, або особливою, якщо? =0.
Квадратна матриця В називається оберненою для квадратної матриці А того ж порядку, якщо їх твір А В=В А=Е, де Е - одинична матриця того ж порядку, як і матриці А і В.
Теорема. Для того, щоб матриця А мала зворотний, необхідне й досить, щоб їх визначник був різниться від нуля.
Матриця, зворотна матриці А, позначається через А - 1, так що В=А - 1. Зворотній матриця обчислюється за формулою
А - 1=1 /? , (4.5)
где Аij - алгебраїчні доповнення елементів aij.
Обчислення зворотної матриці за формулою (4.5) для матриць високого порядку дуже занадто, тому на практиці буває зручно знаходити зворотний матрицю з допомогою методу елементарних перетворень (ЕП). Будь-яку неособенную матрицю А шляхом ЕП лише шпальт (або тільки рядків) можна привести до одиничної матриці Є. Якщо скоєні над матрицею А ЕП в тому порядку застосувати до одиничної матриці Е, то в результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЕП над матрицями А і Е одночасно, записуючи обидві матриці поруч через риску. Відзначимо ще раз, що при відшуканні канонічного виду матриці з метою знаходження її рангу можна користуватися перетвореннями рядків і стовпців. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю, в процесі перетворень слід використовувати тільки рядки або тільки стовпці.
Ранг матриці
Нехай дана матриця
(1)
має п рядків і т стовпців. Стовпці цієї матриці являють собою систему з т п-мірних векторів. Ранг цієї системи векторів називається рангом матриці.
Виберемо в матриці (1) довільні k рядків і стільки ж стовпців. Природно вважати, що. Визначник, матриці, що стоїть на перетині обраних рядків і стовпців будемо називати мінором k-го порядку матриці А.
Очевидно, що якщо всі мінори k-го порядку матриці А дорівнюють нулю, то і всі мінори більш високих порядків будуть дорівнюють нулю. Це безпосередньо випливає з формули розкладу визначника по рядку.
Теорема. Ранг матриці дорівнює найвищому порядку відмінного від нуля мінору.
Доказ. Нехай найвищий порядок відмінного від нуля мінору матриці А (1) дорівнює r. Перестановками рядків і стовпців можна домогтися того, що цей мінор стоятиме у верхньому лівому куті матриці, яку позначимо А *. Очевидно, що якщо всі мінори (r + 1) -го порядку у А дорівнюють нулю, то і у матриці А * такі мінори теж будуть рівні нулю. Позначимо мінор порядку r, що стоїть у верхньому лівому куті через М. Очевидно, що перші r стовпців матриці лінійно незалежні. Якби це було не так, то стовпці, складові мінор М були б лінійно залежні, і цей мінор дорівнював би нулю.
Тепер залишилося довести, що будь k-й стовпець матриці при r lt; k? m буде лінійною комбінацією перших r стовпців. Виберемо довільні числа i і j (r lt; j? N). Поміняємо місцями в матриці А * (r + 1) -ю рядок c i-й і (r + 1) -й стовпець з j-му. Тепер мінор М вийшов облямований мінором Mij
За будь-яких i мінор Mij буде дорівнює нулю. Наприклад, якщо r lt; i? n, то Mij є мінором порядку r + 1 матриці А, і отже, за умовою дорівнює нулю. Якщо i? r, то Mij не є мінором матриці А, але він містить дві однакових рядки, і тому дорівнює нулю.
Розкладемо мінор Mij. по останньому рядку:
(2)
Оскільки в останній формулі алгебраїчне допов...
