жено обчислити визначений інтеграл, де подинтегральная функція y=f (x) неперервна на відрізку [a; b].
Розіб'ємо відрізок [a; b] на n рівних інтервалів довжини h точками. У цьому випадку крок розбиття знаходимо як і вузли визначаємо з рівності.
Розглянемо подинтегральную функцію на елементарних відрізках.
Можливі чотири випадки (на малюнку показані найпростіші з них, до яких все зводиться при нескінченному збільшенні n):
На кожному відрізку замінимо функцію y=f (x) відрізком прямої, що проходить через точки з координатами і. Зобразимо їх на малюнку синіми лініями:
Як наближене значення інтеграла візьмемо вираз, тобто, приймемо.
Давайте з'ясуємо, що означає в геометричному сенсі записане наближена рівність. Це дозволить зрозуміти, чому розглянутий метод чисельного інтегрування називається методом трапецій.
Ми знаємо, що площа трапеції знаходиться як добуток підлозі суми підстав на висоту. Отже, у першому випадку площа криволінійної трапеції наближено дорівнює площі трапеції з підставами і висотою h, в останньому випадку визначений інтеграл наближено дорівнює площі трапеції з підставами і висотою h, взятої зі знаком мінус. У другому і третьому випадках наближене значення певного інтеграла дорівнює різниці площ червоною і синьою областей, зображених на малюнку нижче.
Таким чином, ми підійшли до суті методу трапецій, яка полягає у поданні визначеного інтеграла у вигляді суми інтегралів виду на кожному елементарному відрізку і в подальшій наближеною заміні.
. Формула методу трапецій
У силу п'ятий властивості визначеного інтеграла.
Якщо замість інтегралів підставити їх наближені значення, то вийде формула методу трапецій:
. Оцінка абсолютної похибки методу трапецій
Абсолютна похибка методу трапецій оцінюється як.
Графічна ілюстрація методу трапецій.
4. Метод Сімпсона (парабол)
Це більш досконалий спосіб - графік підінтегральної функції наближається НЕ ламаною лінією, а маленькими параболкамі. Скільки проміжних відрізків - стільки й маленьких парабол. Якщо взяти ті ж три відрізки, то метод Сімпсона дасть ще більш точне наближення, ніж метод прямокутників або метод трапецій.
Нехай функція y=f (x) неперервна на відрізку [a; b] і нам потрібно обчислити визначений інтеграл.
Розіб'ємо відрізок [a; b] на n елементарних відрізків довжини точками. Нехай точки є серединами відрізків відповідно. У цьому випадку всі вузли визначаються з рівності.
Суть методу парабол.
На кожному інтервалі подинтегральная функція наближається квадратичної параболою, що проходить через точки. Звідси і назва методу - метод парабол.
Це робиться для того, щоб в якості наближеного значення визначеного інтеграла взяти, який ми можемо обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца. У цьому і полягає суть методу парабол.
Геометрично це виглядає так:
Червоною лінією зображено графік функції y=f (x), синьою лінією показано наближення графіка функції y=f (x) квадратичними параболами на кожному елементарному відрізку розбиття.
Графічна ілюстрація методу парабол (Сімпсона)
Висновок формули методу Сімпсона (парабол)
У силу п'ятий властивості визначеного інтеграла маємо
.
Для отримання формули методу парабол (Сімпсона) нам залишилося обчислити
.
Нехай (ми завжди можемо до цього прийти, провівши відповідне геометричне перетворення зсуву для будь-якого i=1, 2, ..., n).
Зробимо креслення.
Покажемо, що через точки проходить лише одна квадратична парабола. Іншими словами, доведемо, що коефіцієнти визначаються єдиним чином.
Так як - точки параболи, то справедливо кожне з рівнянь системи
Записана система рівнянь є система лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих змінних. Визначником основної матриці цієї системи рівнянь є визначник Вандермонда, а він відмінний від нуля для незбіжних точок. Це вказує на те, що система рівнянь має єдине рішення (про це йдеться в статті рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь), тобто, коефіцієнти визначаються єдиним чином, і через точки проходить єдина квадратична парабола.
Перейдемо до знаходження інтеграла.
Очевидно:
Використовуємо ці рівності, щоб здійснити останній перехід в наступному ланцюжку рівностей:
Таким чином, можна отримати формулу методу парабол:
Формула методу Сімпсона (парабол) має вигляд
.
Оцінка абсолютної похибки методу Сімпсона.
Абсолютна похибка методу Сімпсона оцінюється як
...
