критеріїв дозволяє без рішення характеристичного рівняння (8.2) відповісти на питання: чи буде дана електричний ланцюг працювати стійко (як підсилювальний каскад) або перейде в режим Автоматичне електричних коливань. Розглянемо вищеназвані критерії докладніше. p> Критерій Гурвіца.
Цей критерій вже розглянуто в темі 3.1 курсу ТЕЦ. Суть його полягає в наступному. Операторна передавальна функція (ОПФ) розглянутої електричного кола представляється у вигляді відносини двох поліномів
(8.3)
Умовою стійкості є те, що поліном знаменника N ( р ) повинен бути поліномом Гурвіца. Це поліном, у якого визначник, складений з коефіцієнтів а k , k = 1, 2, ..., N за правилами, запропонованими Гурвіцем, і всі його головні мінори приймають позитивні значення. Даний критерій відноситься до числа алгебраїчних критеріїв стійкості. Нагадаємо правила складання визначника Гурвіца. На головній діагоналі визначника виписуються коефіцієнти рівняння в тому порядку, в якому вони розташовані в рівнянні, починаючи з а 1 . У кожному зі стовпців визначника під діагональним елементом виписуються коефіцієнти з убутними, а над ним - з зростаючими індексами. Всі коефіцієнти, індекси яких перевищують n , або негативні, замінюються нулями.
Приклад 8.1.
Перевірити за допомогою критерію Гурвіца стійкість системи, описуваної функцією передачі
В
Рішення завдання.
Поліни знаменника відповідає визначник Гурвіца
В
Головні мінори цього визначника:
В
Визначник і всі його мінори позитивні. Отже, всі корені даного рівняння полінома знаменника лежать в лівій півплощині комплексної площині і система стійка.
Критерій Михайлова.
Це один з найбільш простих і ефективних критеріїв стійкості. Суть його полягає в наступному. Електрична ланцюг буде стійкою, якщо при зміні змінної w від 0 до ВҐ аргумент j N (w) полінома N ( j w) знаменника операторної передавальної функції Т ( р ) зростає на кут 0,5 p n радіан, де n - ступінь полінома N ( р ). У практичних випадках часто зручніше користуватися геометричній трактуванням цього критерію: електричний ланцюг буде стійкою, якщо годограф N ( j w) при зміні частоти від 0 до ВҐ, починаючи з речової осі комплексної площини ( а n В№ 0, тобто початкова точка годографа при w = 0 не повинна бути нульовою), послідовно обходить n квадрантів в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.
Приклад 8.2.
Нехай дана електрична ланцюг другого порядку з характеристичним рівнянням
В
Користуючись критерієм Михайлова оцінити стійкість. p> Рішення завдання.
Замінимо р на j w і отримаємо
В
Обчислимо речову і уявну частини N ( j w) для декількох значень w і зведемо отримані результати в таблицю 8.1.
Таблиця 8.1.
w
0
1
2
3
4
ВҐ
Re [ N ( j w)]
1
0
-3
-8
-15
- ВҐ
Im [ N ( j w)]
0
1
2
3
4
ВҐ
Зобразимо годограф N ( j w) на комплексній площині (рис. 8.2).
Очевидно, що із зростанням частоти w кінець вектора N ( j w) послідовно проходить два квадранта, починаючи з першого. Отже, згідно з критерієм Михайлова, ланцюг стійка.
В
Рис. 8.2. Побудова годографа полінома знаменника
Приклад 8.3.
Нехай електричний ланцюг описується передавальної функцією
В
де
В
Оцінити стійкість електричного кола.
Рішення завдання.
Замінимо р на j w і отримаємо
В
Використовуючи критерій Михайлова, побудуємо годограф функції N ( j w), даючи послідовно значення частоти w від 0 до ВҐ (рис. 8.3):
В
Рис. 8.3. Годограф функції N ( j w)
Очевидно, що в даному випадку ел...
