й суміші. Пара може конденсуватися, або, навпаки, крапельки можуть випаровуватися. Введемо параметри і, що описують інтенсивність переходу маси з першої фази в другу і, навпаки, з другої фази в першу. Ці параметри віднесені до одиниці об'єму суміші. Тоді для кожної складової двофазної системи можемо записати наступні рівняння, що виражають закон збереження мас [1]
(2.3)
і
Використовуючи теорему Гаусса-Остроградського, з (2.3) можемо отримати рівняння нерозривності у формі Ейлера [1]
і (2.4)
Складаючи ці рівняння, отримуємо рівняння нерозривності (2.1) для всієї суміші в цілому. При цьому необхідно зазначити, що введені параметри для опису міжфазного масообміну повинні задовольняти умові
Отже, досить задавати один з цих параметрів (або). Для визначеності в подальшому приймемо позначення тоді
. У разі відсутності масообміну між фазами має місце.
Запишемо рівняння імпульсів для першої фази в термінал дійсна густина - об'ємна концентрація при як
(2.5)
Якщо це складова нестисливої, звідси випливає
(2.6)
У тому випадку, коли друга фаза також нестислива, то аналогічно з (2.6) матимемо
(2.7)
Складаючи рівняння (2.6) і (2.7) з урахуванням отримаємо
(2.8)
Таким чином, у випадку, коли обидві фази нестискувані, рівняння нерозривності зводиться для поля швидкостей до звичайного вигляду для нестисливої ??однофазної середовища.
Підставляючи в рівняння нерозривності середню щільність у вигляді та враховуючи рівняння нерозривності для всієї суміші в цілому (2.1) можемо отримати:
або (2.9)
Якщо припустити, що при перебігу дисперсної системи не відбувається утворення і зникнення дисперсних частинок (відсутні процеси дроблення або злипання частинок, наприклад), то аналогічно з рівнянням нерозривності фаз, можна записати рівняння збереження числа дисперсних частинок
(2.10)
Підставляючи сюди вираз з (1.5) з урахуванням рівняння нерозривності всієї суміші (2.1) отримаємо:
або (2.10)
На основі кінематичних залежностей (1.3) неважко отримати формули, що зв'язують масові та об'ємні концентрації фаз як
, (2.11)
, (2.12)
Рівняння імпульсів. Будемо вважати, що двофазну систему в цілому можна розглянути як ідеальне середовище з введенням для неї ще одного параметра, а саме тиску. Це припущення означає, що тензор напружень є чисто кульовим і його компоненти можна записати у вигляді
,; , (2.13)
де - символ Кронекера. Тоді рівняння імпульсів для всієї суміші в цілому запишеться у вигляді
(2.14)
(k=1,2,3) (2.15)
Тут - удельномассовая сила.
У тому випадку, коли протягом потенційне, масові сили потенційні, а суміш в цілому можна вважати баротропной середовищем, рівняння імпульсів (2.14) зводиться до інтегралу Коші-Лагранжа
(2.16)
Рівняння нерозривності (2.2) при цьому можна привести до вигляду
(2.17)
Введений тут параметр, як відомо, виражає швидкість звуку в середовищі. Таким чином, система рівнянь для рівноважної за швидкостями двофазної системи, в рамках вишепрінятих допущених зводиться до двох рівнянь з (2.16.) І (2.17). При цьому основна проблема зводиться до побудови рівняння стану виду або з урахуванням специфіки конкретних двофазних систем.
3. РІВНЯННЯ СТАНУ ДЛЯ рівноважного по швидкості газорідинної СИСТЕМИ
Замість індексів (1) і (2), відповідних першої та другої фаз для газорідинної суміші будемо використовувати відповідно нижні індекси і. Нехай фазові переходи відсутні. Для подальшого позначимо,. Тоді з рівняння нерозривності слід (2.9), яке запишеться як
або (3.1)
Вирази (1.4) для середньої щільності має вигляд
(3.2)
Будемо вважати, що в процесі руху рідина поводиться як акустично стислива середу, а поведінка газу политропического. Тоді можемо записати
і (3.3)
Тут і - значення щільності, відповідні значенням тиску і;- Величини швидкості звуку для рідинної фази,? - Показник політропи. Зокрема, якщо поведінка газу ізотермічне, то?=1, а якщо адіабатичне, то величина? дорівнює показнику адіабати для даного газу.
Надалі будемо вважати, що тиск у фазах рівні і, крім того, замість і приймемо одне і теж значення тиску. Замість зазвичай будемо використовувати значення тиску для деякого вихідного рівноважного стану. Підставляючи значення, з (3.3) в (3.2) отримаємо
(3.4)
Таким чином, отримаємо рівняння стану виду
У цьому рівнянні, ...
