>
де т - маса точки В, a - її швидкість.
Рис 1
Вектор перпендикулярний до площини, що проходить через вектори і. З (рис 1.1) випливає, що в центральному силовому полі ця площина не змінює своєї орієнтації в просторі, тобто траєкторія точки В є плоскою кривою. Таким чином, положення точки В можна задати за допомогою двох полярних координат r і? (рис. 1.1), а її швидкість можна розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові - радіальну швидкість, і трансверсально.
(1.1.4)
Дійсно,, де - одиничний вектор полярної осі, а - одиничний вектор, який утворює з кут Швидкість точки В, або
(1.1.6)
Одиничний вектор - збігається за напрямком з вектором, а одиничний вектор - перпендикулярний до. Тому перший член правій частині написаного вище вирази для є радіальної швидкістю, а другий - трансверсальної.
(1.1.7)
або, в силу взаємної перпендикулярності векторів і
(1.1.8)
При повороті радіуса-вектора за час dt на малий кут d? радіус - вектор прокреслює круговий сектор, площа якого
Тому величину
(1.1.9)
називають секторіально, або секторної, швидкістю. З (1.1.8) видно, що при русі матеріальної точки в центральному силовому полі секториальная швидкість точки постійна:
(1.1.10)
Цей закон вперше був встановлений Кеплером стосовно до руху планет в полі тяжіння Сонця. Його називають другим законом Кеплера.
3. Для визначення траєкторії матеріальної точки В скористаємося законами збереження моменту імпульсу (рівняння 1.1.8) та енергії:
W = W до + W п=const; (1.1.11)
Кінетична енергія може бути представлена ??у вигляді:
(1.1.12)
Підставивши це значення W до в рівняння (1.1.11) і дозволивши його щодо отримаємо:
(1.1.13)
З (1.1.8)
(1.1.14)
Таким чином
(1.1.15)
(1.1.16)
Для знаходження цього інтеграла необхідно знати залежність потенційної енергії W п від r. Великий практичний інтерес представляє рух матеріальної точки В у такому сферично симетричному центральному силовому полі, для якого
; (1.1.17)
де=const. У разі поля тяжіння, створюваного матеріальною точкою з масою М,=- mМ lt; 0. Співвідношення (1.1.16) справедливо також для потенційної енергії точкового електричного заряду q 1 знаходиться в електростатичному полі іншого точкового заряду q 2.
Підставами значення (1.1.17) для W n в рівняння (1.1.16)
; (1.1.18)
Останній інтеграл зводиться до табличного, якщо ввести позначення:
(1.1.19)
(1.1.20)
де? 0 - постійна інтегрування, яку можна перетворити на нуль, вибравши початок відліку кута? таким чином, щоб ? =0 при х=а. Підставивши значення х і а, одержимо рівняння траєкторії точки В:
(1.1.21)
. Якщо точка В притягається до силового центру, то lt; 0 і рівняння її траєкторії (1.1.22) можна переписати в такій формі:
(1.1.23)
(1.1.24)
Траєкторія, або орбіта, точки В являє собою криву другого порядку, причому р - її фокальний параметр, а е - ексцентриситет.
Можливі наступні типи траєкторій точки В:
а) еліптична орбіта (е lt; 1) пріW lt; 0;
б) параболічна орбіта (е=1) при W=0;
в) гіперболічна орбіта (е gt; 1) при W gt; 0;
г) прямолінійна траєкторія, що проходить через центр сил (р=0, е=1) при L=0.
У перших трьох випадках центр сил збігається з одним з фокусів орбіти. Для планет, що рухаються в полі тяжіння Сонця, W lt; 0. Тому для них справедливий перший закон Кеплера:
всі планети Сонячної системи рухаються по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.
У відповідності з другим законом Кеплера секториальная швидкість кожної з планет постійна. Отже, період Т обертання планети по орбіті дорівнює відношенню площі S, обмеженої орбітою, до:
(1.1.25)
