й підхід сильно збіднює математичну науку. Так, наприклад, Ю.І. Манін зазначає: «Простору функцій в більшості випадків безконечномірний, але можливість напряму виховати, а потім застосувати розвинену Кінцевомірними (навіть тривимірну) інтуїцію, виявилася виключно плідним відкриттям» [9].
Отже, необхідний більш широкий підхід до розуміння математичної структури. Зокрема, Л.Д. Кудрявцев запропонував включити в поняття математичних структур структури, що є математичними моделями реальних явищ (тобто структури, що утворюються в теорії інформації, теорії операцій, теорії випадкових процесів і т.д.).
У роботі В.А. Тестова запропоновано тлумачення математичної структури, на основі соціокультурного системного підходу: «під математичною структурою можна розуміти сукупність стійких зв'язків, що забезпечують цілісність математичного об'єкта (математичної системи, математичної моделі). Ця сукупність стійких зв'язків математичного об'єкта може бути задана різними способами (аксіоматично, конструктивно, описово, у вигляді наочних образів) »[12, с.25].
Таким чином, математичні структури в розумінні Н. Бурбаки, є лише окремим випадком більш широкого тлумачення цього терміну, даного сучасними авторами. Ці структури, за висловом французького математика Р. Тома, називаються стандартними. Отже, до стандартних структурам ми відносимо алгебраїчні, порядкові і топологічні структури.
Алгебраїчні структури. Прикладами таких структур є групи, кільця, поля, векторні простори і т.д. Основні характеристики алгебраїчної структури: завдання на деякій множині кінцевого числа внутрішніх і зовнішніх операцій з відповідними властивостями - аксіомами алгебраїчної структури. В якості елементів множини можуть виступати об'єкти будь-якої природи.
Порядкові структури. Вони характеризуються тим, що на множині об'єктів задається відношення між двома елементами, яке ми найчастіше висловлюємо словами «менше або дорівнює». Це відношення має властивості рефлексивності, транзитивності і антисиметричність. Вивчення загальних властивостей різних впорядкованих множин призвело до виникнення таких абстрактних порядкових структур як ланцюга, цілком впорядковані множини, решітки, булеві алгебри і т.д.
Топологічні структури. Безліч володіє топологічної структурою, якщо кожному його елементу тим чи іншим способом віднесено сімейство підмножин з, званих околицями цього елемента, причому ці околиці повинні задовольняти певним аксіомам (аксіомам топологічної структури). За допомогою топологічних структур точно визначаються такі поняття, як околиця, межа, безперервність.
Як показали дані психологічних досліджень, проведених школою Ж. Піаже, психологічні математичні структури, що утворюються у свідомості дитини, повністю відповідають основним типам математичних структур. Таким чином, була встановлена ??аналогія між «архітектурою» математики як науки і «архітектурою» розвивається мислення. Алгебраїчні структури, а саме групи, на думку Ж. Піаже [10], відповідають операторних механізмам розуму, підлеглим формі оборотності, яку Ж. Піаже називає інверсією, тобто такий, що твір операції на зворотну є тотожна операція. Поняття про алгебраїчних структурах починає формуватися у дитини на стадії конкретних операцій (з 7 до 11-12 років). Але до вивчення поняття групи можна приступати тільки на стадії формальних операцій не раніше 14-15 років з накопичення та узагальнення окремих властивостей алгебраїчних операцій. Поняття ж абстрактної групи набагато більш загальне і вивчатися повинно значно пізніше.
У зв'язку з цим багато математики вважають, що завданням математичної освіти є розвиток структур мислення, пізнання за допомогою цього розвитку структур математичних, а значить і математики як такої. Ряд ідей про реформу математичної освіти був висловлений ще Ф. Клейном в Ерлангенском (1872 г.), а потім у Меранского програмою (1906 г.), зокрема, їм на перше місце були висунуті поняття групи і ідея перетворень.
1.1 Провідне поняття як основа для узагальнюючого повторення шкільного курсу математики
Виділення провідного поняття спричинить впорядкування блоку навчального матеріалу. Багато фактів, які раніше розглядалися як ізольовані, виявляться проявами однієї спільної ідеї, а це буде сприяти більш глибокому розумінню і засвоєнню курсу. У роботах В.А. Далингер говориться, що «провідними поняттями ми будемо вважати ті, які задовольняють наступним критеріям. Вони повинні:
формувати в учнів науковий світогляд;
значно частіше інших понять служити засобом вивчення різних питань математики;
активно працювати протягом великого проміжку часу;
сприяти найбільш повної реалізації внутріпредметних зв'язків, а, в кінцевому рахунку, і міжпредметних;
мати прикладну і практичну спрямованість ».
