ign="justify"> Цілком очевидно, що ідея алгебраїчній структури пронизує весь курс шкільної математики: школярі вивчають числові множини і властивості операцій на них введених (додавання, множення, віднімання, ділення), вчаться працювати з многочленами або векторами (операція додавання ), у старших класах знайомляться з геометричними перетвореннями (операція композиції). Насправді все підготовлено для того, щоб виконати останній крок - звести в єдине ціле весь вивчений матеріал і побачити загальну основу. Виявляється, природа елементів досліджуваних множин (чисел, векторів, многочленів, перетворень) не мала значення, важливий був набір властивостей операції, введеної на даній множині.
В якості іншої ілюстрації відзначимо, що поняття порядкової структури також має важливе значення для шкільного курсу математики. Це провідне поняття пов'язане з одним з найбільш загальних понять математики - поняттям відповідності (а також бінарного відношення). Найважливіші бінарні відношення та відповідності - це еквівалентності, порядки і функціональні відповідності. В геометрії прикладом ставлення еквівалентності є поняття паралельності, визначеному на безлічі прямих площині. Класи цієї еквівалентності являють собою пучки паралельних прямих. На безлічі векторів поняття еквівалентності (вільний вектор) іноді підміняється поняттям рівності, що може спричинити труднощі методичного характеру при вивченні теми. Зауважимо, що, працюючи з вільним вектором, школяр має справу з представником класу фактор-множини векторів площині. Поза математики відносини еквівалентності також відіграють дуже велику роль: вони виникають щоразу, коли нам доводиться проводити класифікацію об'єктів тієї чи іншої природи.
З відношенням порядку ми зустрічаємося кожен раз, коли порівнюємо дійсні числа за величиною, людей по старшинству і т.д. У шкільному курсі прикладами таких відносин служать відносини «ділиться без остачі», «ділить», «менше або дорівнює».
Третій тип бінарних відносин, важливість якого для шкільного курсу математики переоцінити важко, - функціональні відносини.
Наведені нами приклади показують необхідність розробки спеціальної технології узагальнення та систематизації на основі провідної ідеї, що дозволяє в певні моменти вивчення курсу математики в школі включати в процес навчання уроки (цикл уроків, факультативний курс) узагальнюючого повторення.
2. Бінарне відношення - основні визначення
Найбільш важливими в алгебрі і, отже, найбільш дослідженими є бінарні операції. Прикладами таких операцій можуть бути додавання і множення чисел, додавання і множення матриць, складання векторів у векторному лінійному просторі.
Якщо є підмножиною можна сказати, що ці дві множини знаходяться в деякому відношенні один з одним. Надалі, ми будемо вивчати подібні відносини. Але спочатку треба уточнити поняття відносини так, щоб воно могло стати предметом математичного дослідження.
Перш за все, домовимося читати запис словами «а перебуває у відношенні с», і тоді природним чином приходимо до того, щоб розглядати відносини назвати ставленням.
Розглянемо поняття «ставлення» в загальному випадку. Нехай - деякий непорожнє безліч. Декартовим квадратом безлічі назвемо безліч (або), елементами якого є всілякі впорядковані пари, де пробігають безліч. Якщо - підмножина множини, то будемо говорити, що є відношенням на множині.
Сформулюємо визначення бінарного відношення.
Для довільних двох множин і всяке підмножина називається бінарним відношенням між і.
Бінарні відносини на безлічі володіють наступними властивостями:
) рефлексивність;
) симетричність;
) антисиметричність: і; (або якщо й);
) транзитивність і.
Бінарне відношення на множині називається відношенням порядку, якщо мають місце такі властивості:
) рефлексивність:;
) антисиметричність: і;
) транзитивність: і.
Цікава геометрична інтерпретація властивостей бінарних відносин на числових множинах. Наприклад, бінарне відношення буде рефлексивним, якщо підмножина множини буде містити бісектрису 1 і 3 координатного кута декартова квадрата. Як приклад можна навести два відносини і на безлічі R. Ставлення не є рефлексивним, оскільки нерівність суворе і умова не виконається ні за яких значеннях х на безлічі R. А ось ставлення вже буде мати властивість рефлексивності, оскільки нерівність істинне і бісектриса належить підмножині.
Бінарне відношення має властивість симетричності, якщо елементи і одночасно належать підмножині, тобто. Дана властивість на безлічі N притаманне бінарним відношенню, оскільки на даній множині немає негативних чисел.
Бінарне відношення буде транзитивно, якщо і. Геометрично можна помітити, що точки,,, а також (y, y) є вершинами деякого прямокутн...
