МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральне державне бюджетне освітня установа
вищої професійної освіти
Кафедра функціонального аналізу та алгебри
Курсова робота
Бінарні відносини в алгебри та геометрії
Роботу виконала
Дороніна Л.С.
Краснодар +2014
Зміст
Введення
. «Математична структура» як одне з провідних понять математики
.1 Провідне поняття як основа для узагальнюючого повторення шкільного курсу математики
. Бінарне відношення - основні визначення
2.1 Приклади алгебраїчних бінарних відносин
2.2 Приклади бінарних відносин з курсу геометрії
. Узагальнююче повторення. Проектна діяльність
Список використаних джерел
Введення
Об'єкти в математиці, що мають певні властивості, утворюють безлічі із заданими на них операціями. У свою чергу, об'єкти на безлічі пов'язують деякі відносини. Дані відносини повинні задовольняти деяким умовам, що є їхніми властивостями.
Відносини за своєю природою можуть бути досить різноманітними. Відносини в групових структурах називаються законами композиції, це таке відношення між двома елементами, яке визначає однозначно третій елемент як функцію двох змінних. Відповідна структура називається структурою алгебри. Інший тип структури визначений відношенням порядку.
У даній роботі будить розглядатися бінарні відношення на прикладах з алгебри та геометрії. Робота складається з чотирьох розділів. Перший розділ розповідає про історію виникнення поняття «математична структура». Другий розділ описує основні поняття, які зустрічаються в роботі. У третьому розділі розглянуті приклади бінарних відносин зі шкільного курсу алгебри. У четвертому розділі описані приклади бінарних відносин зі шкільного курсу геометрії.
1. «Математична структура» як одне з провідних понять математики
Одним з підходів до визначення математики є системно-структурний підхід. Такий підхід до об'єктів дослідження пов'язаний з переходом від конкретної змістовної аксіоматики до аксіоматиці спочатку абстрактної, а потім повністю формалізованої. У конкретній змістовної аксіоматиці, подібної аксіоматиці Евкліда, вихідні поняття і аксіоми в якості інтерпретації мають єдину систему хоча й ідеалізованих, але конкретних об'єктів. На противагу цьому абстрактна аксіоматика допускає незліченна безліч інтерпретацій. Формалізована аксіоматика характеризується точним завданням правил виводу і замість змістовних міркувань використовує мову символів і формул. Тоді одні й ті ж аксіоми можуть описувати властивості і відносини самих різних за своїм конкретним змістом об'єктів.
Ця фундаментальна ідея лежить в основі поняття математичної структури. Великий внесок у систематизацію сучасної математики на базі основних математичних структур внесла робота групи французьких математиків (А. Вейль, Л. Шварц, К. Шевальє, А. Картан, С. Ейленберг та ін.), Які виступали під псевдонімом Н. Бурбаки.
В основу своєї систематизації Н. Бурбаки поклали аксіоматичний метод, теорію множин і поняття математичної структури: «Спільною рисою різних понять, об'єднаних цим родовим поняттям, є те, що вони застосовні до безлічі елементів, природа яких не визначена. Щоб визначити структуру, задають одне або кілька відносин, в яких знаходяться його елементи; потім постулюють, що дане відношення або дані відносини задовольняють деяким умовам (які перераховують і які є аксіомами даної структури) ».
Таким чином, математика вивчає тільки ті властивості структур, які випливають з прийнятої системи аксіом. Відповідно до положень Н. Бурбаки структури підрозділяються на три основних типи: алгебраїчні, порядкові і топологічні.
На думку ряду великих математиків, розуміння математичної структури Н. Бурбаки занадто вузько. Наприклад, у класифікації Н. Бурбаки відсутні комбінаторні структури, що є основою конструктивного підходу в математиці. За словами Б.В. Гнеденко, «виявилося прагнення перемістити центр інтересів і уявлень з понять математики безперервного в так звану кінцеву математику» [3, с.60].
Також у системі Н. Бурбаки немає місця для наочно-геометричних структур, геометричних образів. Один з членів групи Н. Бурбаки - Ж. Додання - навмисно показав у своїй книзі «Лінійна алгебра та елементарна геометрія» приклад викладу курсу без жодних креслень. Очевидно, що такий односторонні...
