.2
геометричність Зміст екстремум Функції двох змінніх
Рис.3
Если функція z=f (x; y) діференційована у точці и має в Цій точці екстремум (рис.3), то дотичності площинах до поверхні:
z-=(y-
у стаціонарній точці (набірає такого вигляд z =. Це означає, что дотичності площинах паралельна площіні XOY незалежних змінніх x и y. Если є точка екстремум, то дотичності площинах у Деяк околі точки Дотик НЕ перетінає поверхню, а лежить над нею (у випадка максимуму), або під нею (до випадка мінімуму). Если ж стаціонарна крапка не є точкою екстремум, то дотичності площинах в околі точки Дотик может перетінаті поверхню.
например.
Рис.4
дотичності площинах до гіперболічного параболоїда z ?? xy (рис.4) у точці Дотик? 0,0? співпадає з площини XOY, Однак поверхня лежить по Різні Сторони від дотічної площини.
Рис.5
Відмітімо такоже, что точками екстремумів неперервної Функції могут буті точки, в якіх функція НЕ діференційовна. Так, например, функція z=(конус) (рис.5) має мінімум у точці O? 0,0 ?, Однако вона недіференційовна у Цій точці.
Означення 1.5.
стаціонарні точки Функції y=f (M) i точки, в якіх функція недіференційовна, назівається, критичність точками.
2. Поняття екстремумів функцій двох змінніх
Нехай задана функція двох змінніх z=f (x; y) (2.1) определена в Деяк околі U (точки.
Означення 2.1.
Точка назівається точці максимуму (мінімуму) Функції (1.1), если існує д-окіл цієї точки U (? такий, что для довільної відмінної від точки M (x; y) є? віконується відповідна нерівність: (- точка максимуму. (2.2) (- точка мінімуму. (2.3)
Означення 2.2.
Значення Функції у точках максимуму та мінімуму назівають відповідно максимумом та мінімумом Функції. Максимум и мінімум Функції назівають екстремум Функції.
Зауваження.
Нехай M (.Тоді (, если - точка максимуму Функції, (если -точка мінімуму Функції (дів.ріс.6,7).
Рис.6.
Необхідна Умова Існування екстремум
Теорема 2.1. (необхідна Умова екстремумів). Нехай функція z=f (x; y) має в точці екстремум. Тоді, в Цій точці частінні Похідні або дорівнюють нулю, або хоча б один з них не існує.
Доведення. Зафіксуємо у Функції z=f (x; y) змінну у, поклал у =. Тоді розглядувана функція превратилась на функцію однієї змінної х:
=f (x;) =.
Для Функції точка х=є точкою екстремум. Крім цього, функція, согласно з умів цієї теореми, у точці х=має похідну:
(=.
Вікорістовуючі необхідну умову Існування екстремум Функції однієї змінної, робимо Висновок, что
(= 0.
Аналогічно доводитися, что й ()=0.
Теорему доведено.
Зауваження. Умова (2.4) НЕ є достаточно для Існування в точці екстремум Функції.
Приклад 1. Функція двох змінніх z=має частінні Похідні,, Які превращаются в нуль у точці O (0; 0). Функція z в точці O (0; 0) такоже дорівнює нулю z (0; 0). Проте крапку (0; 0) НЕ є точкою екстремум, оскількі в довільному околі цієї точки є точки, в якіх z (x; y) gt; 0 (для y gt; 0) та z (x; y) lt; 0 (для y lt; 0).
Означення 2.3.
Точки, в якіх існують неперервні частінні Похідні Функції, что задовольняють умову (2.4), назівають стаціонарнімі точками.
Отже, координат стаціонарних точок шукають, розв язуючі систему двох рівнянь (2.4).
Приклад 2. Знайте стаціонарні точки Функції z=
Точка - стаціонарна точка.
достаточно Умова Існування екстремум
При дослідженні функцій на екстремум, после знаходження стаціонарних точок Функції, залішається з'ясувати, чи Дійсно є екстремум в ціх точках.
Відповідь на це питання дають достатні умови Існування екстремум . Саме достатні умови повінні закінчуватісь тверджень типу тоді в Цій точці існує екстремум raquo ;.
