align="justify"> Мі розглянемо випадок Функції двох змінніх z=f (x; y), яка має в околі стаціонарної точки другі неперервні Похідні, значення якіх в Цій точці умовно позначімо літерами:== =.
Теорема2.2. (Достатньо Умова екстремумів)
Нехай - стаціонарна точка Функції z=f (x; y), что має другі неперервні частінні Похідні в околі цієї точки.
Тоді, если:
1) І, тоді точка максимуму Функції;
) І, тоді точка мінімуму Функції;
), тоді в точці немає екстремум.
Зауважімо, что теорема Нічого НЕ каже про випадок, коли. Праворуч у тому, что в цьом випадка умів теореми недостатньо, потрібні додаткові дослідження.
Доведення. Оскількі функція f (x; y) в околі стаціонарної точки (має неперервні Похідні до іншого порядку включно, то ее можна розвинутості за формулою Тейлора (2.5):
f (x; y)=f () + (? х + ()? у + ((? х, +? y) +2 (? х, +? y)? х? у + (? х , +? y)?)
де? х=х-? у=у-, 0 lt; і gt; 1.
Оскількі частінні Похідні іншого порядку в д-околі є неперервно функціямі, то при малих за модулем значення? х і? у ЦІ Похідні набірають вигляд:
(? х, +? y)=А + б;
(? х, +? y)=В + в; (2.6)
(? х, +? y)=C + г,
де б, в, г - Функції від? х і? y Такі, что
== 0, (2.7)
а числа А, В, С визначаються рівностямі:
А=(,), В=(,), С=(,).
Тоді ВРАХОВУЮЧИ, что (,) - стаціонарна точка (Похідні и у Цій точці дорівнюють нулю), Рівність (1) можна Записатись так:
? f ()=А + 2В? х? у + С? + Б? +2 В? Х? У + г? ), (2.8)
де? f ()=f (x; y) - f () (2.9)
повний ПРИРІСТ Функції z=f (x; y) у точці ().
Введемо полярні координати з і ц. Тоді? Х і? У віразяться через з і ц такими співвідношеннямі:
? х=с; ? у=с; с =. (2.10)
Приріст:
? f ()=(А + 2В + С + б + 2в + + г). (2.11)
Розглянемо Такі випадки :. ? gt; 0.
Нехай віконується умів? =. Тоді число А? 0 и отже, суму Першів трьох доданків у співвідношенні (2.11) можна зобразіті так:
А + 2В + С=((А + В + (АС-В?)
вирази у ЗОВНІШНІХ дужках за будь-якіх значеннях, 02Р, є строго додатним. Отже, функція, что є лівою Частинами рівності (2.12), набуває значення, Які за знаком збігаються зі знаком числа А для всіх є. Оскількі, є функцією, неперервно на відрізку, то вона на цьом відрізку набуває найменшого додатного значення m gt; 0, тобто
? m gt; 0. (2.13)
Розглянемо +2 +.
вирази у правій части цієї нерівності за формулами (2.7) при i прямує до нуля. Отже, при малих значеннях і значення вирази и правій части рівності (2.11) збігаються за знаком зі знаком числа А.
Если А gt; 0, то
? f () gt; 0,
або
(x; y) gt; f (). (2.14)
Если А lt; 0, то
(x; y) lt; f (). (2.15)
Таким чином, если А gt; 0, то в стаціонарній точці () функція z=f (x; y) має мінімум.
Если А lt; 0, то функція в стаціонарній точці () має максимум ..? lt; 0.
Если число А? 0, то віконується Рівність (2.12). При ц== 0 вирази у дужках співвідношення (2.12) додатний, ВІН дорівнює.
Если ц =, де - один з коренів Рівняння
А + В=0,? 0,
то вирази в дужках співвідношення (2.12) від ємний, ВІН дорівнює?.
При й достатньо малих значення І сума останніх трьох доданків у рівності (2.11) як при ц =, так и при ц=є й достатньо малою.
Отже, ПРИРІСТ? f () на Променю ц=і ц=() НЕ є точкою екстремум.
Если число А=0, то
=+=В + С (2.16)
Оскількі? lt; 0, то В? 0, а отже, кут можна візначіті так, что lt; 2. Тоді при ц=і ц=вирази (2.16) матіме значення, протілежні за знаком. Таким чином, ПРИРІСТ? F () на Променю ц=і ц=матіме значення протилежних знаків. Точка () НЕ є Єкстремальний.
Теорему доведено.
Алгоритм дослідження Функції z=f (x; y) на екстремум:
1. Знайте Перші частінні Похідні та.
. Знайте стаціонарні точки, тобто точки, в якіх,.
. Знайте частінні Похідні іншого порядку,,.
. Обчісліті значення Частинами похідніх іншого поря...
