ь і рівнянь четвертого ступеня, відкриті в 16 столітті італійськими математиками Сціпіоном дель Ферро, Нікколо Тартальей, Людовиком Феррарі і Рафаелем Бомбелли призвели до введення в математичний світ зовсім вже «надприродних» і «незрозумілих» комплексних чисел.
У XIX столітті над теорією чисел працювали багато видатні вчені. Гауссом була створена теорія порівнянь, за допомогою якої доведено ряд теорем про прості числа, вивчені властивості квадратичних відрахувань і невирахувань, включаючи квадратичний закон взаємності [5, стор. 179], у пошуках докази якого Гаусс розглянув кінцеві ряди певного виду, узагальнені згодом до тригонометричних сум. Розвиваючи роботи Ейлера, Гаус і Діріхле створили теорію квадратичних форм. Подальшим вивченням розподілу простих чисел займався Чебишев [8, стор. 5], який показав більш точний, ніж теорема Евкліда, закон прагнення до нескінченності числа простих чисел, довів гіпотезу Бертрана про існування простого числа в інтервалі, а також поставив завдання про оцінку зверху найменшого значення різниці між сусідніми простими числами (розширення питання про простих близнюках). Теорія алгебраїчних чисел була розвинена в роботах Куммера (1810-1893) і Дирихле (1805-1859) і потім Кронекером (1823-1891), Дедекіндом (1831-1916) і Є.І. Золотарьовим (1847-1878) були зроблені додаткові дослідження.
Е. Куммер, намагаючись довести теорему Ферма, працював з алгебраїчним числовим полем, для множини чисел якого він застосував всі чотири алгебраїчних операції і побудував таким чином арифметику цілих чисел алгебраїчного числового поля, ввів поняття ідеальних множників і дав поштовх до створення алгебраїчної теорії чисел. У 1844 році Ж. Ліувілль ввів поняття алгебраїчних і трансцендентних чисел, сформулювавши таким чином в математичних термінах зауваження Ейлера про те, що квадратні корені і логарифми цілих чисел мають принципові відмінності. Ліувілль показав, що алгебраїчні числа погано наближаються раціональними дробами. В кінці XIX століття над доказом трансцендентності конкретних чисел працювали такі математики як Шарль Ерміта, який в 1873 році довів трансцендентність числа e [1, стор. 274], Ф. Ліндеман, який в 1882 році довів трансцендентність числа [1, стор. 276]. Іншим напрямком було вивчення ступеня наближення алгебраїчних чисел раціональними чи алгебраїчними. Ці питання були досліджені в роботах Аксель ТУЕ, який в 1909 році довів теорему, названу його ім'ям, що відноситься до рішень невизначених рівнянь і наближенням ірраціональних чисел раціональними. а потім в п'ятдесятих роках в роботах К. Рота.
У теорії чисел алгебри потрібно виділити роботи Г. Хассе, Є. Гекке, а особливо французького математика А. Вейля, результати якого використовуються в багатьох дослідженнях з алгебраїчним числам.
До алгебраїчної теорії чисел відносяться і багато робіт радянського математика І.Р. Шафаревича. У теорії чисел алгебри І.Р. Шафаревич знайшов самий загальний закон взаємності статечних вирахувань в полях алгебраїчних чисел, що стало певною мірою завершальним етапом 150-річної історії арифметичних законів взаємності, висхідній до Ейлера і Гауссу.
2. Алгебраїчні числа
.1 Визначення алгебраїчного числа
З погляду важливого для алгебри поняття алгебраїчного рівняння, природним представляється виділення класів чисел, які є країнами алгебраїчних рівнянь, з коефіцієнтами з деякого певної множини чисел.
Визначення 1 [1, стор. 259] : Комплексне або дійсне число z називається алгебраїчним , якщо воно є коренем якогось алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0
( a 0 , a 1 , ..., a n ? Z; a n ? 0) < i align="justify">.
Для визначення алгебраїчного числа можна розглядати многочлени з раціональними коефіцієнтами, оскільки, приведенням до спільного знаменника і множенням всього рівняння на цей спільний знаменник таке рівняння за допомогою елементарних перетворень можна привести до рівняння з цілими коефіцієнтами, коренем якого буде наше число.
До алгебраїчним числам належать, зокрема, і всі раціональні числа. Дійсно, раціональне число z= (p, q ? N) очевидно є коренем рівняння: qx - p =0.
Також всяке значення кореня будь-якого ступеня з раціонального ч...
