Введення
алгебраїчний трансцендентний число рівняння
Теорія чисел - розділ математики, що займається вивченням властивостей чисел як математичних об'єктів. Теорія чисел виникла як продовження арифметики, тобто, науки про натуральні числа. Протягом багатьох століть поняття числа поглиблювалась і поповнювалося новими елементами. В даний час в теорію чисел включають вивчення не тільки натуральних чисел, але і безлічі цілих чисел, множини раціональних чисел, безлічі алгебраїчних і трансцендентних чисел а також вивчення функцій різного походження, які пов'язані з арифметикою цілих чисел і їх узагальнень.
Якщо розглядати многочлен: f (x)=x n + a 1 x n - 1 + ... + a n з цілими коефіцієнтами, то цілі числа є корінням многочлена, коли цей багаточлен має ступінь n=1. Тоді, в безлічі комплексних чисел природно виділити цілі алгебраїчні числа, що представляють собою корені многочленів з цілими коефіцієнтами.
Вивчення властивостей таких чисел - завдання алгебраїчної теорією чисел. Вона займається вивченням різних класів алгебраїчних чисел.
Великий інтерес для математиків представляють числа, які не є країнами ніякого алгебраїчного рівняння з раціональними або, що рівносильно цілими коефіцієнтами, які називаються трансцендентними і безліч яких має потужність континууму. Ще древні греки знали дивовижне число, яке дорівнює відношенню довжини кола до її діаметра і є, як з'ясувалося пізніше, трансцендентним.
У 1844 році Ліувілль свідомо побудував перший приклад трансцендентного числа, а математичний світ здивувався самому факту існування таких чисел.
Світ чисел і по наші дні таїть у собі багато загадок і невирішених питань і притягує до себе багато видатних уми.
Метою цієї роботи є не тільки показати сучасний стан теорії алгебраїчних і трансцендентних чисел і зложіть основні методи цієї теорії, але і дати уявлення про історичний ході розвитку її методів і про тих зв'язках, які існують між цією теорією і іншими проблемами теорії чисел.
1. Короткий історичний нарис
Перерахуємо коротко основні етапи розвитку поняття дійсного числа:
) Поняття натурального числа, яке абстрагується від природи елементів і дозволяє перераховувати самі різні об'єкти.
) Дроби, тобто позитивні раціональні числа.
Дроби природно виникли при вирішенні завдань про поділ майна, вимірі земельних ділянок, обчислення часу і т.п.
) Негативні числа і нуль.
Негативні числа спочатку інтерпретувалися як борг при фінансових і бартерних операціях, і сучасні діти легше вчаться підсумовувати негативні і позитивні числа, якщо негативні числа уявляти, як борг. У сучасному світі без негативних чисел не обійтися в жодній сфері діяльності.
) Ірраціональні алгебраїчні числа
Ірраціональні числа відкрили в піфагорейської школі при спробі обчислити довжину діагоналі квадрата через його сторону. Існування таких чисел привело в замішання математиків і довгий час не вписувалося в тодішню модель гармонійного світу. Але розвиток техніки і уявлень про світ змусили людство вчитися вирішувати алгебраїчні рівняння вищих ступенів, ніж перша. Тому з існуванням ірраціональних чисел довелося змиритися, якими б огидними вони не здавалися.
Таким чином, розширення запасу натуральних і цілих чисел привело до безлічі дійсних чисел, яке крім чисел раціональних включає також інші елементи, звані ірраціональними числами.
Наочно поняття дійсного числа можна уявити собі за допомогою числової прямої. Якщо на прямій вибрати напрямок, початкову точку і одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному вещественному числа можна поставити у відповідність певну точку на цій прямій, і назад, кожна точка буде представляти деякий, і притому тільки одне, дійсне число. Внаслідок цього відповідності термін числова пряма зазвичай вживається як синонім безлічі дійсних чисел.
З погляду сучасної математики, безліч дійсних чисел - безперервне упорядковане поле. Це визначення, або еквівалентна система аксіом, в точності визначає поняття дійсного числа в тому сенсі, що існує тільки одне, з точністю до ізоморфізму, безперервне упорядковане поле. Можна і так дати визначення дійсних чисел: полем дійсних чисел називається безперервне поле R, що містить як підполя поле раціональних чисел Q. Елементи поля R називаються дійсними числами
Методи рішення кубічних рівнян...
