исла є алгебраїчним числом. Дійсно, число z= (p, q ? N) є коренем рівняння:
qx n -p=0.
Існують алгебраїчні числа і іншого виду, ніж вказане вище.
Числа не є алгебраїчними називаються трансцендентними.
Приклад:
1) чиcле z=є алгебраїчним. Дійсно, зводячи в квадрат обидві частини рівності, визначального число z, одержимо: z2= 2 + 2 +3 . Звідси z2 - 5 =. Зводячи в квадрат обидві частини цієї рівності, одержимо: z 4 - 10z 2 + 25=24 . Звідси випливає, що число z є коренем наступного рівняння: x 4 - 10x 2 + 1= 0.
2) чиcле z=теж є алгебраїчним. Дійсно, зведемо в куб обидві частини рівності, одержимо:. Запишемо цю рівність в наступному вигляді: і зведемо обидві частини отриманого рівності в квадрат. Після відповідних перетворень одержимо рівняння, коренем якого є число z =:
3) Будь-яке число z=a + bi , у якого компоненти a і b - раціональні числа, є алгебраїчними. Доведемо це .
, (p, q, ? N).
З рівності, отримуємо:. Звідси, зводячи в квадрат, отримаємо: . Отже, z є коренем рівняння з цілими коефіцієнтами:
.
) Наприклад, знайдемо рівняння, коренем якого є комплексне число. Виходячи з вищесказаного дане комплексне число є коренем рівняння, що перевіряється підстановкою:
У Надалі ми будемо розглядати тільки дійсні алгебраїчні числа, не обумовлюючи цього кожен раз.
Визначення 2 [1, стор. 260] : Число n називається ступенем алгебраїчного числа z, якщо z є коренем многочлена n -ой ступеня з раціональними коефіцієнтами і не є коренем тотожне не дорівнює нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж n .
Раціональні числа є алгебраїчними числами першого ступеня. Будь-яка квадратична ірраціональність є алгебраїчне число 2-го ступеня. Алгебраїчні числа третього ступеня часто називають кубічними ірраціональності, а 4-го ступеня біквадратіческімі ірраціонального.
Приклад:
1) - алгебраїчне число третього ступеня, тобто кубічна ірраціональність, оскільки, це число є коренем многочлена третього ступеня з цілими коефіцієнтами x 3 - 2 =0 і не є коренем якого-якого багаточлена 1-й або 2-го ступеня з цілими коефіцієнтами.
Визначення 3 [1, стор. 260] : Якщо алгебраїчне число n-й ступеня z є коренем многочлена
f ( x ) =x n + b 1 x n - 1 + ... + b n ( n ? 1 ) (1)
з раціональними коефіцієнтами, то f ( x ) називається мінімальним многочленом для z . Зауважимо, що старший коефіцієнт цього многочлена дорівнює 1.
Приклад:
Мінімальним многочленом для є x 3 - 2 , так як корінь цього многочлена не є коренем будь-якого багаточлена ступеня, меншою, ніж 3 з раціональними коефіцієнтами.
Визначення 4 [4, стор. 520] . Непріводімий многочлен- це многочлен, що не розкладається на множники більш низького ступеня, відмінною від нуля. Якщо многочлен розкладається на множники більш низького ступеня, відмінною від нуля, то, відповідно, такий многочлен є приводиться многочленом.
Теорема 1 [1, стор. 261]: Якщо f ( x ) мінімальний багаточлен алгебраїчного числа z і F (x) многочлен з раціональними коефіцієнтами, такий, що F ( z ) = 0 , то f (x) дільник F (x) , тобто F (x)=f ( x ) g ( x ), де g (x) також многочлен з раціональними коефіцієнтами.
Доказ: Згідно відомій теоремі алгебри про розподіл із остачей F ( x ) можна представити у вигляді:
(x)=f ( x ) g ( x ) + r ( x )
де g (x) і r (x) - багаточлени з раціональними коефіцієнтами, причому ступінь r (x) менше ступеня f (x) . Оскільки F ( z ) =0 і f (z)=0 , то на...
