Називається функцією правдоподібності.
В якості оцінки параметра? слід взяти те значення, яке звертає функцію правдоподібності в максимум. Для знаходження оцінки необхідно замінити у функції правдоподібності? на f (х1,?) f (х2,?) ... f (хn,?) і вирішити рівняння:
¶ L /¶q=0
Для спрощення обчислень переходять від функції правдоподібності до її логарифму lnL. Таке перетворення допустиме, оскільки функція правдоподібності - позитивна функція, і вона досягає максимуму в тій же точці, що і її логарифм. Якщо параметр розподілу векторна величина, q=(q 1, q 2,...,, Q n ), то оцінки максимальної правдоподібності знаходять із системи рівнянь
¶ ln L (q 1, q 2, ..., q n )/¶ q 1=0;
¶ ln L (q 1, q 2, ..., q n )/¶ q 2=0;
.........
¶ ln L (q 1, q 2, ..., q n )/¶ q n =0
Для перевірки того, що точка оптимуму відповідає максимуму функції правдоподібності, необхідно знайти другу похідну від цієї функції. І якщо друга похідна в точці оптимуму негативна, то знайдені значення параметрів максимізують функцію.
Отже, знаходження оцінок максимальної правдоподібності включає наступні етапи: побудова функції правдоподібності (її натурального логарифма); диференціювання функції по шуканим параметрах і складання системи рівнянь; рішення системи рівнянь для знаходження оцінок; визначення другої похідної функції, перевірку її знака в точці оптимуму першої похідної та формування висновків.
Метод максимальної правдоподібності дозволяє отримати заможні, ефективні, достатні, асимптотично нормально розподілені оцінки. Цей метод може давати як зміщені, так і незміщені оцінки. Зсув вдається усунути введенням поправок. Метод особливо корисний при малих вибірках. Оцінка інваріантна щодо перетворення параметра, тобто оцінка деякої функції j (? ) від параметра? є ця ж функція від оцінки j (). Якщо функція максимальної правдоподібності має кілька максимумів, то з них вибирають глобальний.
б) Метод моментів
Метод запропонований К. Пірсоном в 1894 р Суть методу: вибирається стільки емпіричних моментів, скільки потрібно оцінити невідомих параметрів розподілу. Бажано застосовувати моменти молодших порядків, оскільки похибки обчислення оцінок різко зростають зі збільшенням порядку моменту; обчислені за експериментальними даними оцінки моментів прирівнюються до теоретичним моментам; параметри розподілу визначаються через моменти, і складаються рівняння, що виражають залежність параметрів від моментів, в результаті виходить система рівнянь. Вирішення цієї системи дає оцінки параметрів розподілу генеральної сукупності.
Метод моментів дозволяє отримати заможні, достатні оцінки, вони при досить загальних умовах розподілені асимптотично нормально. Зсув вдається усунути введенням поправок. Ефективність оцінок невисока, тобто навіть при великих обсягах вибірок дисперсія оцінок відносно велика (за винятком нормального розподілу, для якого метод моментів дає ефективні оцінки). У реалізації метод моментів простіше методу максимальної правдоподібності. Нагадаємо, що метод доцільно застосовувати для оцінки не більш ніж чотирьох параметрів, так як точність вибіркових моментів різко падає із збільшенням їх порядку.
в) Метод найменших квадратів
Припустимо, нам відомий вид функціональної залежності фізичної величини u від іншої фізичної величини z, але не відомі параметри цієї залежності a, b, c, .... В результаті проведених вимірювань отримана таблиця значень ui при деяких значеннях. Потрібно знайти такі значення параметрів a, b, c, ... при яких функція найкращим чином змальовує експериментальні дані.
Метод найменших квадратів стверджує, що «найкращої» кривої буде така, для якої сума квадратів відхилень експериментальних значень ui від значень функції мінімальна. Таким чином, для визначення параметрів a, b, c, ... необхідно знайти мінімум функції:
Відзначимо, що? розглядається тут як функція параметрів a, b, c, ..., так як величини ui, zi відомі з експериментальних даних.
У загальному випадку знаходження мінімуму функції вдається зробити далеко не завжди. Тому для практичної реалізації МНК часто застосовують наступний штучний прийом: знаходять деякий функціональне перетворення, яке призводить досліджувану залежність
до лінійного вигляду: для якого реалізація МНК найбільш проста.
У цьому вся суть методу на...
