[t0, t1], M).
Розглянемо задачу:
(1)
де - стан системи, або фазових змінна;- Управління системою, або управляюча змінна;- Множини усіх можливіть значень управління; ? 1=const - параметр запізнення фазової змінної; ? 2=const - параметр запізнення управління.
Зміна станів системи опісується таким діференціальнім рівнянням Із запізненням:
. (2)
Щоб гарантуваті Існування решение цього Рівняння, необходимо Задати безперервну функцію x0 (?) таку, что
(3)
та Кусова-неперервно функцію u0 (?) таку, что
(4)
Будемо вважаті, что Функції
,
візначені у (1), (2) i Такі, что
задовольняють Наступний умів: Самі смороду и їхні часткові Похідні по зміннім xi, yj (i, j=1, ..., n) неперервні за сукупністю аргументів в G? U? U. Де G - Відкрита множини в пространстве R? Rn? Rn.
Моменти годині t0 и t1 будемо вважаті фіксованімі. Значення верхньої Межі t1 может буті як кінцевім, так и нескінченнім, но в іншому випадка может стать так, что інтеграл в (1) розходи.
Означення 3.
Назвемо пару (x (?), u (?)) керованого процесом в задачі (1), (2), (3), (4), если:
а) управління u (?): [t 0, t 1]? U - кусково-неперервно функція. Для візначеності будемо вважаті, что u (?) Неперервно праворуч для t 0? t lt; t 1 і зліва в точці t 1;
б) фазові Траєкторії x (?): [t 0, t 1]? ? n кусково-гладка функція и ее графік? лежить в G
;
в) для всіх t [t0, t1], крім, можливо, точок розріву управління u (?), функція x (?) задовольняє діференціальному рівнянню (2).
керованого процес назівається допустимим, если, крім того, віконуються Початкові умови (3) і (4).
допустимих керованого процес назівається оптимальним, если знайдеться таке? gt; 0, что для всякого допустимого керованого процесса (x (?), U (?)) Такого, что
,
віконується нерівність
.
Введемо деякі Позначення
(5)
Має місце наступна теорема, якові мі назвемо принципом максимуму Понтрягіна в задачі з запізненням.
Теорема 1. Если - Оптимальна Допустима процес для задачі (1), (2), (3), (4), то існують множнікі Лагранжа, що не дорівнюють одночасно нулю и Такі, что Виконаю
. Рівняння Ейлера
(6)
. Принцип максимуму Понтрягіна
(7)
3. Умова трансверсальності:
(8)
Де
Для простоти розглядаті випадок, коли n=1. Це ніскількі НЕ пріменшує Загально випадка, коли n? довільно, так як в даного випадка збільшується только громіздкість виразів, а їхня суть залішається тією ж.
Визначення голчастою варіації. Почнемо з визначення елементарної - вейєрштрасівської - голчастої варіації. Позначімо через
Зафіксуємо точку, елемент и число настолько мале, что
Управление
(9)
назвемо елементарно. голчастою варіацією управління. Розглянемо діференціальне Рівняння з запізненням
з початково умів для фазової змінної (3) i початкова умів для керування (4). Позначімо за x? (t)=x? (T;?,?) Розвязок цього Рівняння. Назвемо x? (t) Елементарна голчастою варіацією Траєкторії, а пару (x? (t), u? (t)) Елементарна варіацією процесса. Пару (?,?), Яка візначає Цю варіацію, будемо назіваті Елементарна Голко.
Лемма 1. (Про Властивості елементарної варіації). Нехай Елементарна голка (?,?) Фіксована. Тоді існує таке, что, при, віконується:
. Траєкторії x? (t) определена на всьому відрізку [t0, t1] и при? ? 0 + 01 рівномірно на [t0, t1];
. при,, існує и неперервно по? похідна, яка при? =0 определена як похідна праворуч;
. Функція на інтервалі задовольняє діференціальному рівнянню
(10)
з початково умів
(11)
