ustify"> а на відрізку задовольняє того ж діференціальному рівнянню, альо з початково умів
(12)
де - значення розв язку системи рівнянь диференціальних рівнянь (10) з початково умів (11) у точці продовженого за неперервністю.
Доведення Лемі будемо Проводити по Частинами. Спочатку доведемо для випадка, коли функція неперервно. Тоді з (2) i в силу умів, накладення на функцію? , Отрімуємо, что Траєкторії неперервно діференційована на [t0, t1]. Розглянемо Диференціальні рівняння
(13)
(14)
согласно (9) праві части ціх рівнянь співпадають, при t lt; ?-?, А так як, при, то за теореми Існування та єдіності розв'язком для Рівняння Із запізненням, для t lt; ?-?, И за неперервністю решение:
(15)
Зокрема, неперервно-діференційована по?, як композиція неперервно-діференційовніх функцій, и
(16)
Позначімо розв язок наступної задачі Коші:
(17)
Можна вважаті настолько малімо, что Тоді для, діференціальне Рівняння з запізненням
еквівалентно звічайна діференційному рівнянню (17).
Відповідно до локальної теореми Існування и єдіності можна підібраті такі? 1 gt; 0 и? 1 gt; 0, что определена при
а в силу теореми про діференціальної залежності РІШЕНЬ від початкових даних функція v1 є неперервно-діференційованою по сукупності змінніх.
согласно (9) і (15), для визначення x? (t) на відрізку ми повінні в (17) покласть і. Если вібрать так, что, то при маємо
.
Зокрема функція
будучи суперпозіцією неперервно-діференційовніх функцій, сама є неперервно-діференційованою по? І, крім того, віконується співвідношення:
Далі, функція v1 неперервно у точці, причому, а функція неперервно в точці?. Тому для будь-которого? gt; 0 існує таке? gt; 0, что при
віконуються нерівності
(18)
Візьмемо додатне настолько малімо, щоб при віконувалася нерівність |. Тоді для будь-которого, І буде мати місце нерівність
ВРАХОВУЮЧИ, что, для, отрімуємо
Оскількі, при, то для будь-которого? gt; 0 знайдеться таке,, маємо
(19)
Отже, для ми отримавших
(20)
Тепер розглянемо відрізок. Без обмеження можна вважаті, что, тоді з слідує, что, звідки за (9) І, звідки за (20). Тому, для, Рівняння (13) з урахуванням (9) Набуда вигляд:
(21)
Позначімо через решение цього Рівняння з початково умів.
За теоремі про діференціальної залежності розв язків ний звічайна диференціальних рівнянь від початкових даних отрімаємо, что існує? 2 gt; 0 таке, что функція определена при i є неперервно діференційованою за сукупністю аргументів. Тоді, для визначення x? (t) на відрізку, покладемо. Если вібрать так, что при віконується нерівність, то при тихий же значеннях? маємо:
.
Зокрема ця функція, як суперпозіція неперервно-діференційованіх функцій, сама є неперервно-діференційованою по і. Отже, при i, існує и неперервно по (t,?) Похідна. Позначімо, де, тоді для і маємо:
Візьмемо додатне настолько малімо, что, тоді
. (22)
Перейдемо від Рівняння (21), з початково умів, до еквівалентного інтегрального Рівняння:
(23)
Діференціюючі це Рівняння по? и вважаючі? =0, знаходімо, что на інтервалі функція z (t) задовольняє діференціальному рівнянню
(24)
и початковій умові
. (25)
Покладемо
тоді Функції неперервно діференційованою по? І, в силу того, что віконується співвідношення:
Де
значення розвязка Рівняння (24) з початково умів (25) у точці, Пожалуйста продовженого по неперервності.
Переходячі до відрізку и ВРАХОВУЮЧИ, что и? мале, отрімаємо, что Рівняння (13) з урахуванням ...
