Зміст
Завдання на курсову роботу ........................................... .............................. 2
Зауваження керівника ............................................. .................................. 3
1. Бесселевих функції з будь-яким індексом .................................................. . 5
2. Формули приведення для бесселевих функцій ....................................... 10
3. Бесселевих функції з напівцілим індексом ............................................. 13
4. Інтегральне представлення бесселевих функцій з цілим індексом ... 15
5. Ряди Фур'є-Бесселя .............................................. .................................... 18
6. Асимптотичне подання бесселевих функцій з цілим індексом для більших значень аргументу ......................................... .............................................. 23
Список літератури ............................................. .......................................... 30
1. Бесселевих функції з будь-яким індексом
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження бесселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координат за формулами:
,,,
то рівняння (1) прийме наступний вигляд:
. (2)
Поставимо задачу: знайти всі такі рішення рівняння, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій, кожна з яких залежить тільки від одного аргументу, тобто знайти всі рішення виду:
,
де,, передбачаються двічі безперервно диференційовними.
Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), отримаємо:
,
звідки (після ділення на)
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не залежить від, права не залежить від,; отже, загальна величина цих виразів є деяка постійна. Звідси:
;;
;;
.
У останній рівності ліва частина не залежить від, права не залежить від; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна. Звідси:
,;
,.
Таким чином,,, повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
,
(3)
,,
з яких друга й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Зворотно, якщо,, задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на, отримаємо:
.
Таким чином, загальний вигляд всіх трьох рішень рівняння (2), які є твором трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є, де,, - Будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел, . p> Перше з рівнянь (3) у випадку, називається рівнянням Бесселя. Вважаючи в цьому ...
