или, що ці два нескінченних вирази дорівнюють, хоча і виявилося неможливим це довести». Він застерігає математиків від використання «розбіжних рядів», хоча сам не завжди дбав від цьому, і лише геніальна інтуїція захищає його від невірних висновків; правда, і у нього трапляються «проколи».
На початок XIX століття необхідність акуратного обгрунтування властивостей «рахункових сум» стає ясною. У 1812 році Карл Фрідріх Гаус (1777-1865) дає перший зразок дослідження збіжності ряду, в 1821 році наш добрий знайомий Огюстен Луї Коші (1789-1857) встановлює основні сучасні принципи теорії рядів.
.2 Подальше вивчення числових рядів. Чітке формулювання поняття числового ряду
Підсумовування безконечної геометричної прогресії із знаменником, меншим 1, вироблялося вже в давнину (Архімед). Расходимость гармонійного ряду була встановлена ??італійським вченим Менголі в 1650 р Статечні ряди з'явилися у Ньютона (1665), який вважав, що статечним рядом можна представити будь-яку функцію. У вчених XVIII століття ряди постійно зустрічалися в обчисленнях, але далеко не завжди приділялася увага питанню про збіжність. Точна теорія рядів починається з робіт Гаусса (1812), Больцано (1817) і, нарешті, Коші, де вперше дано сучасне визначення суми сходиться ряду і встановлені основні теореми. 1821 Коші публікує «Курс аналізу в Політехнічній королівській школі», який мав найбільше значення для поширення нових ідей обгрунтування математичного аналізу в першій половині XIX століття.
«Поруч називають необмежену послідовність кількостей
виходять один з інших за певним законом ... Нехай
є сума n-перших членів, де n - яке-небудь ціле число. Якщо при постійному зростанні значень n сума необмежено наближається до відомого межі S, ряд називається збіжним, а ця межа-сумою ряду. Навпаки, якщо при необмеженому зростанні n сума не наближається до жодного певної межі, ряд буде розбіжним і не матиме суми ... »[З першої частини« Курсу аналізу в політехнічної королівській школі »О. Коші (1821) { №54 т. III, c. 114-116, переклад А.П. Юшкевича }]
.3 Завдання, що призводять до поняття числового ряду і ті, в яких він використовувався
Швидконогий Ахіллес ніколи не наздожене черепахи, якщо на початку руху черепаха знаходилася на деякій відстані попереду нього. Дійсно, нехай початкова відстань є а і нехай Ахіллес біжить в k разів швидше черепахи. Коли Ахіллес пройде відстань а, черепаха відповзе па а/k, коли Ахіллес пройде цю відстань, черепаха відповзе на a /, і т.д., тобто всякий раз між змагаються залишатиметься відмінне від нуля відстань.
У цій апорії, крім того ж труднощі відрахувавши нескінченності, є і ще одне. Припустимо, що в деякий момент часу Ахіллес наздожене черепаху. Запишемо шлях Ахіллеса
і шлях черепахи
Кожному відрізку шляху а /, пройденого Ахіллесом, відповідає відрізок шляху a/черепахи. Тому до моменту зустрічі Ахіллес повинен пройти «стільки ж» відрізків шляху, скільки і черепаха. З іншого боку, кожному відрізку а /, пройденого черепахою, можна зіставити рівний йому за величиною відрізок шляху Ахіллеса. Але, крім того, Ахіллес повинен пробігти ще один відрізок довжини а, тобто він повинен пройти на одиницю більше відрізків, ніж черепаха. Якщо кількість відрізків, пройдена останньої, є б, то отримуємо
+ б=б
«Стріла». «Стріла». Якщо час і простір складаються з неподільних частинок, то летить стріла нерухома, так як в кожен неподільний момент часу вона займає рівне собі положення, тобто спочиває, а відрізок часу і є сума таких неподільних моментів.
Ця апорія спрямована проти уявлення про безперервної величиною - як про суму нескінченного числа неподільних частинок.
«Стадіон». Нехай по стадіону рухаються по паралельних прямим рівні маси з рівною швидкістю, але в протилежних напрямках. Нехай ряд,,, означає нерухомі маси, ряд - маси, рухомі вправо, а ряд - маси, рухомі вліво (рис. 1). Будемо тепер розглядати маси. як неподільні. До неподільного момент часу проходять неподільну частину простору. Дійсно, якби в неподільний момент часу деякий тіло проходило більше однієї неподільної частини простору, то неподільний момент часу був би ділимо, якщо ж менше, то можна було б розділити неподільну частину простору. Розглянемо тепер рух неподільних один щодо одного: за два неподільних моментів часу, пройде два неподільні частини, і одночасно відрахує чотирьох неподільні частини, тобто неподільний момент часу виявиться діленим.
Цією апорії можна надати і кілька іншу форму. За одне і той же час t точка проходить половину відрізка і цілий відрізок. Але кожному неподільного моменту часу відповідає неподільна частина простору, прохідна за цей...
