Введення
числовий коші Даламбер
Поняття нескінченних сум фактично було відомо вченим Стародавньої Греції (Евдокс, Евклід, Архімед). Знаходження нескінченних сум було складовою частиною так званого методу вичерпання, широко використовуваного давньогрецькими вченими для знаходження площ фігур, об'ємів тіл, довжин кривих і т.д. Так, наприклад, Архімед для обчислення площі параболічного сегмента (тобто фігури, обмеженої прямий і параболою) знайшов суму безконечної геометричної прогресії із знаменником 1/4.
Ряд, як самостійне поняття, математики стали використовувати в XVII ст. І. Ньютон та Г. Лейбніц застосовували ряди для розв'язання алгебраїчних і диференціальних рівнянь. Теорія рядів у XVIII-XIX ст. розвивалася в роботах Я. та І. Бернуллі, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Ейлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа та ін. Сувора теорія рядів була створена в XIX ст. на основі поняття межі в працях К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коші, П. Діріхле, Н. Абеля, К. Вейєрштрасса, Б. Рімана та ін.
Актуальність вивчення даної проблеми обумовлена ??тим, що розділ математики, що дозволяє вирішити будь-яку коректно поставлене завдання з достатньою для практичного використання точністю, називається теорією рядів. Навіть якщо деякі тонкі поняття математичного аналізу з'явилися поза зв'язку з теорією рядів, вони негайно застосовувалися до рядів, які служили як би інструментом для випробування значимості цих понять. Таке положення зберігається і зараз. Таким чином, представляється актуальним вивчити числові ряди, їх основні поняття і особливості збіжності ряду.
1. Історія виникнення
.1 Перша згадка і використання числового ряду
Правила арифметики дають нам можливість визначити суму двох, трьох, чотирьох і взагалі будь-якого кінцевого набору чисел. А якщо кількість доданків нескінченно? Нехай це навіть «найменша» нескінченність, тобто нехай число доданків лічильно.
Знаходження нескінченних сум було складовою частиною так званого методу вичерпання, широко використовуваного давньогрецькими вченими для знаходження площ фігур, об'ємів тіл, довжин кривих і т.д. Так, наприклад, Архімед для обчислення площі параболічного сегмента (тобто фігури, обмеженої прямий і параболою) знайшов суму безконечної геометричної прогресії із знаменником 1/4.
Майже дві з половиною тисячі років тому грецький математик і астроном Евдокс Кнідський застосовував метод «вичерпання» до знаходження площ і обсягів. Ідея цього методу полягає в тому, щоб досліджуване тіло розбити на рахункове число частин, площі або обсяги яких відомі, а потім ці обсяги скласти. Цей метод застосовували і Евклід, і Архімед. Природно, повного і акуратного обгрунтування методу в роботах античних математиків не було. До цього потрібно було пройти ще довгий двохтисячорічний шлях, на якому були і блискучі одкровення, і помилки, і курйози.
Ось, наприклад, як міркував одна середньовічний богослов при доказі - не більше і не менше - існування Всемогутнього Бога.
Запишемо в рівновеликих величинах S як нескінченну суму
S=1010101010 ... (1)
«Замінимо в правій частині цієї рівності кожен нуль на суму 1+ (- 1)
S=1 + (- 1) + 1+ (- 1) + 1+ (- 1) + ... (2)
Залишивши на самоті перший доданок у правій частині (2), об'єднаємо з допомогою дужок другий доданок з третім, четверте з п'ятим і т.д. Тоді
S=1 + ((- 1) +1) + ((- 1) +1) + ...=1 + 0 + 0 + ...=1. »
Почавши з рівності S=0, автор приходить до того, що S=1 і урочисто закінчує:
«Якщо з нуля можна за бажанням отримати одиницю, то допустимо і припущення про створення світу з нічого!»
Погодимося ми з таким міркуванням? Звичайно, ні. З погляду сучасної математики помилка автора полягає в тому, що він намагається оперувати з поняттями, яким не дано визначення (що це таке - «сума нескінченного числа доданків»), і чинить перетворення (розкриття дужок, перегруп-піровку), законність яких не була їм обгрунтована.
Широко користувалися рахунковими сумами, не приділяючи достатньої уваги питанню про те, що ж точно означає це поняття, найбільші математики XVII і XVIII століть - Ісаак Ньютон (1642-1727), Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716 ), Брук Тейлор (1685-1731), Колін Маклорен (1698-1746), Жозеф Луї Лагранж (1736-1813). Віртуозною майстерністю поводження з рядами відзначався Леонард, Ейлер (1707-1783), разом з тим він нерідко визнавав недостатнє обґрунтування використовуваних їм прийомів. У ста роботах неодноразово зустрічаються пропозиції на кшталт такого «Ми вияв...
