час. Тоді в деякому відрізку а і відрізку 2а міститься «однакове» число точок, «однакове» в тому сенсі, що між точками обох відрізків можна встановити взаємно однозначна відповідність. Цим вперше було встановлено таку відповідність між точками відрізків різної довжини. Якщо вважати, що міра відрізка виходить як сума заходів неподільних, то висновок є парадоксальним.
2. Застосування числового ряду
.1 Визначення
Нехай задана нескінченна числова послідовність
,, ...,, ...
Визначення 1.1 . Числовим поруч або просто поруч називається вираз (сума) виду
. (1.1)
Числа називаються членами ряду , - загальним або n-му членом ряду.
Щоб задати ряд (1.1) досить задати функцію натурального аргументу обчислення -го члена ряду за його номером
З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сум де - сума перших членів ряду, яка називається n - й часткової сумою , т.е.
,
,
,
..................................
, (1.5)
..................................
Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:
) мати кінцевий межа;
) не мати кінцевого межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).
Визначення 1.2 . Ряд (1.1) називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцевий межа, тобто
У цьому випадку число називається сумою ряду (1.1) і позначається
.
Визначення 1.3. Ряд (1.1) називається розбіжним, якщо послідовність його часткових сум не має кінцевого межі.
розбіжними ряду не приписують ніякої суми.
Таким чином, завдання знаходження суми сходиться ряду (1.1) рівносильна обчисленню границі послідовності його часткових сум.
.2 Основні властивості числових рядів
Властивості суми кінцевого числа доданків відрізняються від властивостей ряду, тобто суми нескінченного числа доданків. Так, у разі кінцевого числа доданків їх можна групувати в якому завгодно порядку, від цього сума не зміниться. Існують сходящиеся ряди (умовно збіжні), для яких, як показав Ріман Георг Фрідріх Бернхард, міняючи належним чином порядок проходження їх членів, можна зробити суму ряду рівний якому завгодно числу, і навіть розходиться ряд.
Приклад 2.1. Розглянемо розбіжний ряд виду
Сгруппировав його члени попарно, отримаємо сходиться числовий ряд з сумою, рівною нулю:
З іншого боку, згрупувавши його члени попарно, починаючи з другого члена, отримаємо також сходитися ряд, але вже з сумою, що дорівнює одиниці:
Сходяться ряди мають деякі властивості, які дозволяють діяти з ними, як з кінцевими сумами. Так їх можна множити на числа, почленно складати і віднімати. У них можна об'єднувати в групи будь поруч стоять доданки.
Теорема 2.1. (Необхідна ознака збіжності ряду).
Якщо ряд (1.1) сходиться, то його загальний член прямує до нуля при необмеженому зростанні n, т.е.
(2.1)
Доказ теореми випливає з того, що, і якщо
S - сума ряду (1.1), то
Умова (2.1) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Т. е., Якщо загальний член ряду прагне до нуля при, то це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2) однак він розходиться.
Слідство (Достатній ознака расходимости ряду).
Якщо загальний член ряду не прагне до нуля при, то цей ряд розходиться.
Властивість 2.1. Збіжність або расходимость ряду не зміниться, якщо довільним чином видалити з нього, додати до нього, переставити в ньому кінцеве число членів (при цьому для сходиться ряду його сума може змінитися).
Доказ властивості випливає з того, що ряд (1.1) і будь-якої його залишок сходяться чи розходяться одночасно.
Властивість 2.2. сходитися ряд можна множити на число, тобто, якщо ряд (1.1) сходиться, має суму S і c - деяке число, тоді
Доказ випливає з того, що для кінцевих сум справедливі рівності
Властивість 2.3. Сходяться ряди можна почленно складати і віднімати, тобто якщо ряди,
сходяться,
то і ряд
збігається і його сума дорівнює т.е.
.
Доказ випливає з властивостей межі кінцевих сум, т.е.
Ознака порівняння
Нехай дано два позитивних ряду
, (3.1)
, (3.2)
і виконуються умови для всіх n=1,2,...
