При цьому доведеться розглянути два способу розбиття вихідного інтервалу на менші.
. Розбиття на інтервали проводиться заздалегідь; зазвичай інтервали вибираються рівними. Крім того, якщо обчислення інтеграла передбачається проводити «вручну», то інтервали вибираються так, щоб значення х , відповідні кінця кожного інтервалу, було можливо легше обчислювати. З цієї категорії методів будуть розглянуті правило трапецій і метод парабол (Сімпсона).
. Місцезнаходження і довжина інтервалів визначаються шляхом аналізу; спочатку ставиться вимога досягти найвищої точності з заданим числом інтервалів, а потім відповідно до цього визначаються їх межі. Прикладом такого підходу є метод Гаусса.
.1 Правило трапецій
Розглянемо інтеграл (1.1), який являє собою заштрихованную площа на рис. 1. Розіб'ємо інтервал інтегрування на n рівних частин, кожна довжиною h=(b - a)/n.
Рис. 1. Геометричне представлення задачі про чисельний інтегруванні.
Рис. 2. Один інтервал з заштрихованої області, зображеної на рис.1. Масштаб по осі х збільшений.
Розглянемо тепер один з цих інтервалів, як зображено на рис. 2, де масштаб по осі х сильно збільшений. Площа, що лежить під кривою у = f (х) між х i , і x i + 1 , дорівнює
Але якщо h досить мало, то цю площу без великої помилки можна прирівняти до площі трапеції ABCD. Якщо написати y i = f (х i ) , то площа прямокутника ABED буде дорівнює y i h , а площа трикутника ВЕС буде дорівнює, так що
(1.2)
Але оскільки
отримуємо
(1.3)
де x 0 = a і x n = b . Тепер, підставляючи (1.2) в (1.3), остаточно отримуємо
(1.4)
Ця формула описує добре відоме правило трапецій для чисельного інтегрування; згідно з цим правилом, наближене значення інтеграла (1.1) виходить у вигляді суми площ n трапецій. Правило трапецій - один з найпростіших методів чисельного інтегрування. Сутність його полягає в тому, що інтервал інтегрування розбивається на безліч менших відрізків, усередині яких подинтегральная крива у = f (х) замінюється з деякою ступенем точності більш простими функціями; інтеграли від них можна обчислити, використовуючи тільки ординати на кінцях відрізків.
1.2 Правило Сімпсона
Цей метод аналогічний правилом трапецій в тій частині, що інтегрування проводиться шляхом розбиття загального інтервалу інтегрування на безліч дрібніших відрізків; однак тепер для обчислення площі над кожним з них через три послідовних ординати роздроблення проводиться квадратична парабола. Можна було б очікувати, що аналогічно тому, як правило трапецій дає точний результат при інтегруванні лінійних функцій, правило Сімпсона дасть точний результат при інтегруванні многочленів другого порядку; насправді ж виходить дещо парадоксальний результат: формула Сімпсона дає точні значення інтеграла при інтегруванні многочленів до третього порядку включно. Тому при всій своїй простоті цей метод досить точний, хоча формула для чисельного інтегрування виходить ненабагато складніше, ніж для правила трапецій. Простота і точність правила Сімпсона сильно сприяють його широкому застосуванню при обчисленнях на ЕОМ.
Згадаймо, що кількість відрізків n у разі правила трапецій визначалося формулою
Припустимо тепер, що число n є парним і що
(1.5)
Тоді
(1.6) (1.7)
Рівняння (1.5), (1.6) і (1.7) можна підставити. При цьому отримаємо
і остаточно:
(1.8)
Формула (1.8) називається формулою Сімпсона. Її можна було вивести іншим шляхом, а саме проводячи параболу через три ординати на кінцях двох сусідніх інтервалів і потім складаючи вийшли при цьому площі.
1.3 Метод Гаусса
Похибка методу тим менше, чим вище порядок многочлена, при чисельному інтегруванні якого виходить точний результат. Щоб спростити викладки, змінимо межі інтегрування так, щоб вони стали рівними (+1, - 1). Для цього введемо нову змінну
так що
