Введення
Математичний опис процесів, що протікають в різних областях діяльності людини, часто призводить до моделей, що залежать не тільки від стану системи в поточний момент часу, але і від її стану в минулому. До числа таких процесів можна віднести багато біологічні процеси (наприклад, зміна концентрації лейкоцитів в організмі людини), хімічні процеси (швидкість реакції, що каталізується ферментами), а також процеси зі світу економіки (зростання капіталу) і демографії (відтворення населення).
І хоча в багатьох випадках виключення запізнювання з розгляду дозволяє адекватно описувати реальні процеси, іноді це може призвести до абсурдних (або, по крайней мере, не еквівалентним реальності) висновків. Так, наприклад, рівняння
В
є асимптотично стійким, однак рівняння
В
вже не стійке ні для якого позитивного запізнювання [5]. Іншим прикладом проблеми неврахованого запізнювання може служити модель системи автоматичного регулювання (В«ідеальний провісникВ»), де значення вхідного сигналу в майбутній момент часу повністю визначається значенням вихідного сигналу в даний момент часу, що суперечить як здоровому глузду, так і принципу причинності [5].
Зазвичай моделі, що залежать від передісторії, містять одне або декілька звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ) з запізнілими аргументами, як наприклад:
1) рівняння Маккея-Гласса, що описує концентрацію білих кров'яних клітин в організмі людини:
,
де і - параметри;
2) рівняння кінетики ферментів
,
де і - параметри;
3) загальна модель зростання капіталу Солоу
В
де;
4) логістичне рівняння з запізненням (рівняння Хатчінсона або рівняння Райта)
,
де і - параметри.
Інші цікаві приклади використання ОДУ з запізнілими аргументами можна знайти, наприклад, у книзі [5].
Моделі, як правило, містять набір параметрів, що їх характеризують. Ці параметри - невідомі, визначаються в кожному випадку окремо за деякого масиву спостережуваних значень (значень, отриманих в ході експерименту). Для рівняння Маккея-Гласса (1.3), наприклад, параметрами виступають змінні і, а спостережуваними значеннями - величини концентрації лейкоцитів у моменти часу. p> У багатьох випадках рішення диференціального рівняння (або системи диференціальних рівнянь) не може бути отримано аналітично, а може бути тільки обчислено наближено за допомогою спеціальних математичних методів (таких, як, наприклад, чисельне інтегрування). Для таких рівнянь задача оцінки параметрів за експериментальними даними ускладнюється, тому що в явному вигляді немає самої функції, для якої ці дані були отримані....
